שיחה:רנורמליזציה

מי שיודע איך לעשות את הסימן של אינסוף (8 שוכב) מוזמן להחליף כל פעם שכתוב "אינסוף" בסימן הזה

תעיין בויקיפדיה:נוסחאות מתמטיות לפרטים (אני לא מכיר). טרול רפאים 23:37, 15 ינו' 2005 (UTC)

TEX עושה את המלאכה (ראה בערך). הורדתי את המשפט: "ואכן לאחר שהפיזיקאים התחילו להשתמש בשיטה, המתמטיקאים "משכו ידיהם" מהפיזיקה", משום שיש בו הגזמה רבה. הערך בויקי האנגלי מקיף ביותר, ולידו גם התואר "קצרמר" נראה מחמיא מדי לערך העברי. אני מניח שלאחר תרגום מהערך האנגלי יתברר הפתרון שניתן לבעיה להנחת דעתם של המתמטיקאים והפיזיקאים כאחד. דוד שי 06:24, 16 ינו' 2005 (UTC)

פיסיקה, מתימטיקה ומה שביניהן

בעקבות שאלה שנשאלתי בעניין, החלטתי לפרסם את תשובתי המורחבת כאן, משום שנראה לי שעוד קוראים עשויים למצוא בה עניין.

לגבי תוכן הערך, ובמיוחד המשפט האחרון:

בניגוד לפיסיקה הקלאסית, הפיסיקה המודרנית מתמודדת עם תופעות שההצגה המתימטית שלהן היא בעייתית. תופעות אלה כוללות בין היתר סינגולריות, התנהגות אסימפטוטית וחלוקה באפס.

הדוגמא המוצגת בערך מתארת למעשה סינגולריות - אלקטרון, שעד לרגע זה כל מה שידוע על גודלו הפיסי הוא שהוא קטן מהערך המדיד הקטן ביותר (אני לא זוכרת את הערך המדוייק), ולמעשה אפשר להתייחס אליו, מכל בחינה פרקטית (בשונה מבחינה מתימטית טהורה, כלומר יש כאן הזנחה מודעת ומוצדקת) כאל חלקיק נקודתי. אלקטרון זה, שגודלו לצורך העניין הוא 0, מחולל סביבו שדה א"מ, ושדה זה מפעיל כוח על כל חלקיק טעון הנמצא בסביבת האלקטרון. מכיוון שהכוח המופעל על חלקיק טעון גדל ביחס הפוך למרחק שלו מהאלקטרון, הרי שכשאנו באים לנתח את ההתרחשויות בסביבה הקרובה מאד של האלקטרון (אנחנו מדברים כאן במונחים של תורת הקוונטים, זוכרים? מרחקים קצרים מאד), אנו נתקלים בסינגולריות של הכח (כח שואף לאינסוף) בסביבת האלקטרון.

מבחינה מתימטית תיאורטית טהורה, יש כאן בעיה, משום שהמתימטיקה לא מספקת כלים טובים לטיפול בסינגולריות. אבל, כפיסיקאים, אנו מעוניינים לנתח את המצב הזה, כדי להבין תופעות "מהחיים" וכדי לנבא את התנהגות היקום (במקרה זה, כדי לנבא את ההתנהגות של חלק קטן מאד של היקום, אבל עדיין חלק מעניין שלו). האפשרויות העומדות בפנינו הן:

1. לחפש כלי אחר (במקום המתימטיקה) שיוכל לשמש אותנו לצורך ניתוח המקרה הזה. כלי כזה עדיין אינו בנמצא.
2. לנסות להשתמש במתימטיקה, במסגרת המגבלות שהיא מציבה לנו, לצורך ניתוח המצב.

מכיוון שהאפשרות הראשונה אינה בנמצא בינתיים, נותרנו עם האפשרות השניה.

כדי לחזור לגבולות המתימטיקה השימושית, אנחנו צריכים "להפטר" מהאינסוף במשוואה. זוהי פעולה שהיא בעייתית מבחינה מתימטית, אבל בכל זאת יש מאחוריה הגיון מסויים - העובדה שגודל מסויים הוא אינסופי, אינה אומרת שלא ניתן לאפס אותו על ידי חיסור של גודל אינסופי אחר ממנו. הבעיה המתימטית נובעת מכך שישנן רמות שונות של אינסוף, וחיסור של אינסוף אחד מאינסוף אחר יכול להביא גם לתוצאה השונה מאפס. לפיכך, פעולת ה"חיסור" הזו אינה פעולה מתימטית פשוטה, ויש לגשת אליה בזהירות מירבית.

לצורך פעולת החיסור הנ"ל, צריך לזהות את סוג האינסוף שאנו מעוניינים לאפס, וניתן לעשות זאת ע"י מניפולציות מתימטיות של המשוואות המדוברות. כמו כן, צריך שיהיה תוקף פיסיקלי לאיפוס הנ"ל. לאחר כל אלה, צריך כמובן לאמת את התוצאה שהתקבלה מכל המניפולציות האלה עם המציאות - כלומר לודא שהפיתרון שהתקבל אכן מתאר את ההתנהגות הפיסיקלית של היקום.

בעוד המניפולציות המתימטיות לא הוסברו בערך עצמו (ולמי שמעוניין, אכן יש מקום לבדוק את כשרותם של השיטות המתימטיות), הרי שצויין כי התוצאות אומתו בניסויים מול ערכים שנמדדו בפועל עבור גדלים פיסיקליים מדידים, וזהו כבר טיעון חזק בזכות השיטה, לפחות עד שניסויים פיסיקליים יפריכו אותה (-;

הארות קטנות על דבריך

שלום. כתבת שהכוח החשמלי מתשנה יחסית לאחד חלקי המרחק. כמובן, השינוי מתכונתי הפוך למרחק, אך מוטב לציין שלמרחק בריבוע.

עוד בנוגע להערתך.

"תופעות אלה כוללות בין היתר סינגולריות, התנהגות אסימפטוטית וחלוקה באפס." האם סינגולריות אינה חלוקה באפס (שאיפה לאפס)?

אגב, ככל הזכור לי, בתורה הקלאסית לכתחילה הגדירו את הכוח כיחסי הפוך לריבוע המרחק (ולא הפוך למרחק), על מנת שתהיה התכנסות של האינטגרל לאינסוף (אינטגרל 1 חלקי X מתבדר באינסוף). כי יש משמעות פיזקאלית לאינטגרל הכוח. אולם, האנרגיה הפוטנציאלית היא שהפוכה למרחק.

"האפשרויות העומדות בפנינו הן:

לחפש כלי אחר (במקום המתימטיקה) שיוכל לשמש אותנו לצורך ניתוח המקרה הזה. כלי כזה עדיין אינו בנמצא.

לנסות להשתמש במתימטיקה, במסגרת המגבלות שהיא מציבה לנו, לצורך ניתוח המצב. מכיוון שהאפשרות הראשונה אינה בנמצא בינתיים, נותרנו עם האפשרות השניה."

אין כלי אחר במקום המתמטיקה, וספק רב אם אי פעם יהיה. ההצעה הראשונה אינה רלוונטית. לא הוגן לומר על המתמטיקה שהיא מציבה מגבלות לניתוח הפיזיקאלי. הרי אלמלא המתמטיקה לא הייתה הפיזיקה יכולה להתפתח ולהגיע להשגים המרשימים שאליה הגיעה.

"הבעיה המתימטית נובעת מכך שישנן רמות שונות של אינסוף, וחיסור של אינסוף אחד מאינסוף אחר יכול להביא גם לתוצאה השונה מאפס."

אם אני מבין נכון, את מתכוונת לסדרים שונים של התכנסות לאינסוף. פה לא מדובר על אלף-אפס לעומת אלף וכדומה, אלא על התבדרות לפי אחד חלקי X או לפי אחד חלקי X-בריבוע (שאיפה יותר מהירה לאינסוף), וכדומה. אם הבנתי נכון, אז אולי כדאי לשפר את הניסוח ("רמות שונות של אינסוף"). אם מדובר על סינגולריות, אז הכוונה לשאיפה לאינסוף, וזה אינסוף פוטנציאלי. השיח על קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי) לא נראה לי רלוונטי לפה.

"בעוד המניפולציות המתימטיות לא הוסברו בערך עצמו (ולמי שמעוניין, אכן יש מקום לבדוק את כשרותם של השיטות המתימטיות)"

כידוע לך, את כשרותם של השיטות המתמטיות לא בודקים במעבדה, ולא על ידי הצלחת החיזוי של השיטות הפיזקאליות. כלומר, אין מקום לבדוק את כשרותם של השיטות המתמטיות מעבר לקונסיסטנטיות שלהן.

חוץ מזה, כל הכבוד על תרומתך לאנציקלופדיה.

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:%D7%A8%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94

תשובה

אנסה לנסח את הבעיה באופן יותר מדויק ולתת לה תשובה יותר מאירה, כדי שמי שקורא את דף השיחה הזה בעתיד יצא עם יותר תשובות משאלות.
באלקטרומגנטיות קלאסית השדה שיוצר האלקטרון יחסי לאחד חלקי המרחק בריבוע, והאנרגיה הפוטנציאלית שלו לאחד חלקי המרחק. לכן גם השדה וגם האנרגיה אינסופיים על פני האלקטרון שגודלו אפס.
המכניקה הקוונטית פותרת בעייה זו באמצעות עיקרון אי הוודאות: האלקטרון לא נקודתי, יש פילוג מטען שיחסי לפונקצית הגל בריבוע, ולכן השדה והאנרגיה לא אינסופיים. הבעיה הזו ופתרונה לא קשורים לרנורמליזציה או לתורת השדות הקוונטית.
הרנורמליזציה היא סיפור אחר. יש בעיה חדשה בתורת השדות הקוונטית - הגדלים שמחשבים יוצאים אינסופיים (הסיכוי לפיזור אלקטרון - אלקטרון למשל). במקרה זה אנחנו אומרים: "גודל שאפשר למדוד לא יכול להיות אינסופי". לכן "מחביאים" את האינסוף בתוך גודל אחר, שעל פי ההגדרה אי אפשר למדוד וקוראים לו גודל "חשוף" (bare). הגדלים החשופים באלקטרודינמיקה קוונטית (QED) הם מטען האלקטרון והמסה שלו לפני רנורמליזציה. הגדלים הנמדד של המסה והמטען הם סופיים, מדודים וידועים, והקשר שלהם לגודל החשוף האינסופי ידוע גם. הגדלים הנמדדים והסופיים הם המסה והמטען לאחר רנורמליזציה.
ההסבר האינטואיטיבי הוא שהגודל החשוף מוסתר על ידי מטענים בריק כך שרק שארית שלו נראית למרחוק. אנלוגיה אולי מובנת יותר (אבל לא מדויקת, אין להשליך ממנה על תופעות נוספות בתורת השדות) תהיה אטום בעל גרעין עם מטען חיובי גדול. האלקטרונים סביבו ממסכים את המטען כך שהמטען שמרגיש אלקטרון בקליפה החיצונית הוא קטן בהרבה, ודרושה אנרגיה קטנה כדי להוציא אותו.

רגע אז....

אני לא מבין בזה יותר מדיי. או אולי כלום בעצם. אבל אם טוענים שלא ניתן לחלק את האלקטרון והוא היחידה הסופית, והכוח תלוי במרחק, והמרחק בו הכוח הוא אינסופי הוא כשהמרחק הוא אפס - אז זה לא בעצם מאד הגיוני שהכוח יהיה אינסופי על האלקטרון עצמו אם הוא לא מתחלק? - זאת אומרת - שלא ניתן לחלק אותו יותר וזאת כיוון (או לפחות הוכחה לכך אם לא הסיבה לכך) שיידרש כוח גדול מאינסוף מנת לעשות זאת?!

תבנית השכתוב

לידיעתי הרנורמליזציה הוא מונח שהופיע לראשונה בפיזיקה סטיסטית ורק אחר-כך נלקח ממנה לאלקטרודינמיקה ולתורת השדות. בכל מקרה לא יכול להיות שפיזיקה סטיסטית לא תוזכר כאן, ולא יופיעו השימושים הנרחבים של רנורמליזציה בתאור מעברי פאזה.

הכי חשוב, הרעיון המרכזי שעומד מאחורי הרנורמליזציה הוא מושג הדימיון העצמי. לא ייתכן שהוא לא יוזכר כאן. טוקיוני 11:56, 12 באפריל 2008 (IDT)

מצרים

מה עם הרנורמליזציה ביחסי ישראל-מצרים? יוסאריאן • שיחה 13:10, 22 באוגוסט 2010 (IDT)

יש ערך כזה? אני שמח שהתעניינת, בדיוק אני מפנה לביקורת עמיתים. אני צריך לדעת האם התוכן מובן למי שאינו בתחום (כל התוכן צריך להיות מובן לבעלי תואר מדעי). ‏Setreset • שיחה 13:15, 22 באוגוסט 2010 (IDT)

למדתי על זה פעם, אבל אני לא ממש מתמצא. אם יהיה לי זמן, אנסה לקרוא קצת ולפדבק. יוסאריאן • שיחה 13:17, 22 באוגוסט 2010 (IDT)

לשאלתך הראשונה, יש דף פירושונים נורמליזציה. לכאן לא נראה לי שמישהו יגיע בטעות. ‏Setreset • שיחה 13:22, 22 באוגוסט 2010 (IDT)

כן, סתם התבדחתי. יוסאריאן • שיחה 13:32, 22 באוגוסט 2010 (IDT)