תורת ההוכחות

ענף בלוגיקה מתמטית

תורת ההוכחות היא ענף בלוגיקה מתמטית החוקר את מושג ההוכחה הפורמלית, באופן שאינו תלוי בתוכנו של הטיעון, אלא במבנה שלו ושל ההוכחה בלבד.

הוכחות פורמליות

עריכה

הוכחה פורמלית של משפט היא סדרה סופית של פסוקים, הנגזרים זה מזה באופן נאות, ומהווים למעשה "טיעונים" בדרך להוכחה השלמה. כל אחד מפסוקים אלה צריך להגזר על-פי כללי היסק קבועים מתוך הפסוקים שקדמו לו, או להיות אקסיומה.

המערכת המתמטית שבמסגרתה בונים הוכחות פורמליות כוללת שפה מעל אלפבית סופי, קבוצת משפטים בני ניסוח, קבוצת אקסיומות, וקבוצת כללי היסק. בדרך-כלל דורשים שקבוצת האקסיומות, קבוצת המשפטים בני הניסוח, וקבוצת האקסיומות יהיו כריעים – כלומר שיהיה ניתן לבדוק בזמן סופי אם משפט הוא בר ניסוח, אקסיומה או תוצאה של כלל היסק על משפטים נתונים.

כלל ההיסק הנפוץ ביותר הוא מודוס פוננס - ידוע שמערכת ההוכחה הבנויה על הלוגיקה הפסוקית וכלל ההיסק היחיד שלה הוא מודוס פוננס היא מערכת שלמה.

הבעיה ה-24 של הילברט – בעיה שדויד הילברט כתב לעצמו ולא פרסם, עסקה ביכולת למיין הוכחות שונות ולהעדיף אחת על פני חברתה.

משפטים חשובים

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה
  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.