תורת ההפרעות

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה במידה מרובה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו היא הכללה של פיתוח לטור טיילור.

דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לדעת כיצד יתקדמו הגלים במים, כלומר פתרון המשוואות אינו קשה במקרה זה, וניתן לקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.

הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנן בעיות מתמטיות שקשה מאוד או אי אפשר לפתור אותן במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.

דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות

נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+f-\varepsilon f^{2}=0,f(0)=2$

כאשר הפרמטר $\varepsilon$ מייצג מספר אל־ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פראוד.

במקרה הקיצון, $\varepsilon =0$, המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.

${\frac {\partial f}{\partial x}}+f=0,f(0)=2$

$f=Ce^{-x}=2e^{-x}$

זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים הפתרון של בעיית קיצון אינו פיזיקלי. לדוגמה, אם בדוגמה זו $\varepsilon$ מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו $\varepsilon$ קטן מאוד אך אינו אפס. נגדיר, אם כן:

$f=f_{0}+\varepsilon f_{1}+{\varepsilon }^{2}f_{2}$

תנאי השפה המתאים הוא:

$f(0)=2\cdot \varepsilon ^{0}+0\cdot \varepsilon ^{1}+0\cdot {\varepsilon }^{2}$

הצבת הביטוי עבור $f$ במשוואה לעיל נותן:

$f={\frac {\partial f_{0}}{\partial x}}+\varepsilon {\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}+f_{0}+\varepsilon f_{1}+\varepsilon ^{2}f_{2}-\varepsilon (f_{0}+\varepsilon f_{1}+\varepsilon ^{2}f_{2})^{2}=0$

ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:

$O(1):{\frac {\partial f_{0}}{\partial x}}+f_{0}=0,f_{0}(0)=2$

סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר $\varepsilon$ וסדר $\varepsilon ^{2}$, בהתאמה.

$O(\varepsilon ):{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+f_{1}-{f_{0}}^{2}=0,f_{1}(0)=0$

$O({\varepsilon }^{2}):{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}+f_{2}-f_{0}f_{1}=0,f_{2}(0)=0$

ניתן לפתור בהדרגה את המערכת הנזכרת למעלה, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה הוא: $f_{0}=2e^{-x}+O(\varepsilon )$, כלומר שגיאת הקיטוע היא מסדר $\varepsilon$. הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר $\varepsilon$ יתן $f_{1}=4e^{-x}-4e^{-2x}+O(\varepsilon ^{2})$, וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.

דוגמה פיזיקלית – יציבות מודית בבעיית חום

בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד־ממדית פשוטה בתחום $0<x<l$:

${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}=c{\frac {\partial T}{\partial t}}$

כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו־c מייצג קבוע דיפוזיה של חום. תנאי השפה וההתחלה הם:

$T(x=0,t)=T(x=l,t)=T(0<x<l,t=0)=1$

במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר: $T=1$, כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן.

עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. לדוגמה: אם ההפרעה היא מהצורה $T'=\sin \left(\pi {\frac {nx}{l}}\right)e^{-\sigma t}$, כאשר $\sigma$ מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה.

ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:

$T=T_{0}+\varepsilon T'=T_{0}+\varepsilon \sin \left(\pi {\frac {nx}{l}}\right)e^{-\sigma t}$

כאשר הפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב־$T_{0}=1$, ו־$\varepsilon$ הוא מספר קטן מאוד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה.

אם מציבים את הפתרון הזה בבעיית החום, מתקבל:

${\frac {\partial ^{2}T_{0}}{\partial x^{2}}}+\varepsilon {\frac {\partial ^{2}T'}{\partial x^{2}}}=c{\frac {\partial T_{0}}{\partial t}}+c\varepsilon {\frac {\partial T'}{\partial t}}$

מכיוון ש־$T_{0}$ קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:

$-{\frac {\varepsilon n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}\sin \left(\pi {\frac {nx}{l}}\right)e^{-\sigma t}=\varepsilon c(-\sigma )\sin \left(\pi {\frac {nx}{l}}\right)e^{-\sigma t}$

ועל ידי צמצום וחלוקה ב־c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:

$\sigma =-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{cl^{2}}}$

למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנסת את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.

ראו גם

• תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
• תורת ההפרעות התלויה בזמן

קישורים חיצוניים

• תורת ההפרעות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.