תחום יסודי

בהינתן מרחב טופולוגי וחבורה הפועלת עליו, אוסף התמונות של נקודה יחידה (תחת פעולת החבורה) מהווה מסלול של הפעולה. תחום יסודיאנגלית: Fundamental domain) של המרחב ביחס לפעולת החבורה הנתונה הוא תת-קבוצה של המרחב המכילה בדיוק נקודה אחת מכל אחד מהמסלולים הללו. התחום היסודי משמש כמימוש גאומטרי של קבוצת הנציגים של המסלולים.

ישנן דרכים רבות לבחור תחום יסודי. באופן טיפוסי, נדרש מהתחום היסודי לקיים מספר תכונות נאות המקלות על הטיפול בו, כגון שיהיה תת-קבוצה קשירה של המרחב, יחד עם הגבלות מסוימות על השפה שלו, כגון שתהיה חלקה או ליניארית למקוטעין. תחת פעולת החבורה, התמונות של התחום היסודי שנבחר מרצפות את המרחב כולו.

הגדרה פורמליתעריכה

בהינתן חבורה   הפועלת על מרחב טופולוגי  , תחום יסודי עבור הפעולה הזאת הוא קבוצה   הכוללת בדיוק נציג אחד מכל מסלול. באופן פורמלי, תחום יסודי   של מרחב   ביחס לפעולת חבורה   מקיים את התכונות הבאות:

  • לכל  , החיתוך של   ו-  הוא ריק;
  • כל מסלול חותך את הסגור של  .

על תכונות אלו נוספת דרישה להתנהגות טופולוגית "יפה" של התחום היסודי. למשל, בהינתן חבורת ההזזות המקושרת לסריג במרחב אוקלידי n ממדי (חבורה שמספר היוצרים שלה הוא כממד המרחב), טבעי לבחור את התחום היסודי להיות המקבילון היסודי של הסריג. אולם, יכולנו גם לבחור את התחום היסודי להיות מורכב מחצי ממקבילון יסודי אחד, ומהחצי המשלים שלו ממקבילון יסודי אחר - כך מתקבל תחום יסודי שאינו קבוצה קשירה, אך העונה לשתי הדרישות הראשונות. לכן, בבחירת תחום יסודי בדרך כלל נדרש ממנו להיות קבוצה קשירה.

דוגמאותעריכה

דוגמאות במרחב האוקלידי התלת-ממדי R3 כוללות את:

  • בעבור פעולת שיקוף ביחס למישור: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות משני צידי המישור, או נקודה יחידה על המישור; התחום היסודי יכול להיבחר להיות כל אחד מחצאי-המרחב ביניהם חוצץ המישור.
  • בעבור שיקוף ביחס לנקודה: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות או נקודה יחידה (במידה ונבחרה הנקודה ביחס אליה מתבצע השיקוף); התחום היסודי יכול להיבחר להיות אחד מחצאי המרחב שיוצר כל מישור העובר דרך הנקודה.
  • בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בכיוון אחד: המסלולים הם הזזות של סריג חד-ממדי בכיוון וקטור ההזזה; התחום היסודי יהיה פרוסה מישורית אינסופית עבה.
  • בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בשני כיוונים: המסלולים הם הזזות של סריג דו-ממדי המונח במישור המוגדר על ידי וקטורי ההזזה; התחום היסודי יהיה מוט אינסופי בעל חתך רוחב של מקבילית.

תחום יסודי עבור החבורה המודולריתעריכה

התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת החבורה המודולרית Γ על חצי המישור העליון H.

תרשים מפורסם זה מופיע בכל הספרים הקלאסיים על פונקציות מודולריות. הוא היה ידוע לקרל פרידריך גאוס, אשר עסק בתחומים יסודיים במסגרת מחקריו על תורת הרדוקציה של תבניות ריבועיות בינאריות. כאן, התחום היסודי U הוא משולש היפרבולי עם קודקוד "אידיאלי" אחד (קודקוד אחד באינסוף), ושתי זוויות של   כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:

 

קישורים חיצונייםעריכה