תנאי שפה

תנאי שפה (או תנאי גבול) הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לפתרון מסוים. כשם שפתרון אינטגרל לא מסוים מצריך להוסיף קבוע, וכך מקבלים אוסף של פונקציות קדומות שכולן פתרונות של האינטגרל, כך גם במשוואה דיפרנציאלית כללית נקבל משפחה של פונקציות שיכולות לפתור את המשוואה, כאשר השונות ביניהם היא רק קבוע. כדי לקבוע פתרון יחיד למשוואה, עלינו לדעת נתון נוסף על הפתרון, כך שהקבוע יקבל ערך יחיד, וכך תתקבל פונקציה יחידה המקיימת את התנאים.

כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוג של בעיה פיזיקלית כלשהי, לרוב מדובר במשוואה עם פונקציה של הזמן או המרחב. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע $\ t=0$, קוראים לתנאים תנאי התחלה. תנאי השפה הם חלק מהותי מבעיות כמו משוואת לפלס וידיעתם חיונית לפתרון.

סוגים של תנאי שפה

עבור משוואות דיפרנציאליות שונות, נדרשים תנאי שפה שונים, בהתאם לרמת החופש של הבעיה. ישנם שני פרמטרים שמשפיעים על כמות תנאי השפה שנצרכים:

• סוג המשוואה הדיפרנציאלית, רגילה או חלקית.
• סדר המשוואה (סדר הנגזרת הכי גבוהה שמופיעה במשוואה)

עבור משוואה דיפרנציאלית רגילה התנאים הנדרשים הם ערכי פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה במספר סופי של ערכי המשתנה שלה. כמות התנאים הנדרשים שווה לסדר המשוואה (למשל שני תנאים עבור משוואה מסדר שני). כמות תנאים פחותה לא תאפשר לנו למצוא פתרון יחיד, ואילו תנאים נוספים ו"מיותרים" עלולים לגרום לבעיה להיות לא פתירה, ובכל אופן הם לא יוסיפו דבר. מבחינה פיזיקלית ניתן לחשוב על כך כמספר דרגות החופש של המערכת.

עבור משוואה דיפרנציאלית חלקית תנאי השפה הם פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה בתחומים מסוימים (השפה), כלומר הם פונקציות בעצמם.

תנאי השפה מתחלקים לשלושה סוגים עיקריים:

1. תנאי דיריכלה – כאשר נתון ערכה של הפונקציה על השפה
2. תנאי ניומן – כאשר נתון ערכה של נגזרת הפונקציה על השפה
3. תנאי קושי – כאשר נתונים גם ערכים של הפונקציה וגם של נגזרותיה. תנאי התחלה הוא מקרה פרטי של תנאי קושי.

במקרים רבים, המשוואה יחד עם תנאי השפה מסוג מסוים נקראים יחד בעיה, למשל "בעיית קושי" או "בעיית התחלה".

דוגמאות

מתנד הרמוני

המשוואה הדיפרנציאלית המתארת מתנד הרמוני עם קבוע קפיץ שקבועו ידוע $k\in \mathbb {R}$ היא משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר שני:

$\,y''(x)+k^{2}y(x)=0$

זו בעיית שטרום ליוביל עם פולינום אופייני $r^{2}+k^{2}=0$ שהפתרון הכללי של המשוואה ל $k>0$ (שורשים מרוכבים) הוא מהצורה:

$\,y(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$

כאשר A ו-B הם שני קבועים המהווים דרגות חופש של הפתרון, ומספרם כסדר המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה. על מנת לקבל פתרון מדויק של הפונקציה המתארת את המתנד ההרמוני דרושים שני תנאי שפה. אם תנאי השפה הם מסוג דיריכלה, הפונקציה ידועה בשתי נקודות. לדוגמה:

$y(0)=0,\ y(\pi /2k)=2$

מהתנאי $y(0)=0$ מקבלים:

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

ומתנאי השפה $y(\pi /2k)=2$ מקבלים:

$2=A\cdot 1$

מכאן שפתרון המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי השפה הללו הוא:

$y(t)=2\sin(kx)\,$

משוואת לפלס

משוואת לפלס היא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

$\nabla ^{2}f=0$

כאשר $\nabla ^{2}$ הוא אופרטור הלפלסיאן. בעיה מסוג דיריכלה היא פתרון המשוואה כך שערכיה על השפה הכולאת את אזור הבעיה שווים לפונקציה ידועה. דוגמה לבעיה כזאת היא משוואת החום: הטמפרטורה על משטח סגור נקבעת על ידי גורם חיצוני (והיא לאו דווקא אחידה על פניו), ויש למצוא את הטמפרטורה באזור שכלוא על ידי המשטח לאחר זרימת חום והתייצבות הטמפרטורה.

אם אזור הבעיה הוא בצורת תיבה אופרטור הלפלסיאן יילקח בקואורדינטות קרטזיות. אם $f(x,y,z)\,$ ניתנת להפרדת משתנים והתיבה ארוכה מאוד באחד הכיוונים (למשל ציר z) כך שהטמפרטורה תלויה רק בשתי קואורדינטות, הפתרון הבסיסי הוא מכפלה של פתרונות המתנד ההרמוני בשתי קואורדינטות אלה. אולם כעת על מנת לקבל פתרון מדויק יש צורך בידיעת הפתרון על פני כל שפת התיבה. הפתרון הכללי הוא סכום על כל הפתרונות עם קבועים k המקיימים את תנאי השפה:

$\,f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }(A_{nm}\sin(k_{n}x)+B_{nm}\cos(k_{n}x))(C_{nm}\sin(k_{m}y)+D_{nm}\cos(k_{m}y))$

המקדמים $\ A_{mn},B_{mn},C_{nm},D_{nm}$ הם סדרות של שני משתנים וגם הם נקבעים על ידי תנאי השפה.

משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני. בשלושה ממדים המשוואה היא:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})-c^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})=0$

פתרונה הכללי של משוואה זו הוא גל כלשהו, פונקציה של המרחב שמשתנה בזמן כך שערכיה נשמרים בנקודות שנעות בכיוון כלשהו במרחב במהירות c, או צירוף ליניארי של פונקציות כאלה. תנאי השפה יכולים לקבוע את חזית הגל וכך להכתיב את סוג הגל, למשל גל מישורי או גל כדורי.

בהקשר של פתרון משוואת הגלים, בעיות גלים מסוג דיריכלה עשויות להיות תיאור התבניות הנוצרות במיתר כתוצאה מקצה קשור (ערך פונקציית הגל בקצה הקשור קבוע), למשל, בעוד שבעיות מסוג ניומן עשויות להיות תיאור תנודת המיתר כאשר יש לו קצה חופשי, למשל. המושגים של קצה קשור וקצה חופשי הם מושגים מרכזיים בתורת הגלים ורלוונטיים לא רק לבעיית המיתר הרועד אלא גם לגלי קול ואור.

קישורים חיצוניים

• תנאי שפה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• בעיות ערך שפה, דף שער בספרייה הלאומית
• תנאי שפה, באתר MathWorld (באנגלית)