מספר מעגלי

מספר מעגלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים מעגליים קשר לשברים מחזוריים כמוסבר בהמשך הערך.

באופן ויזואלי מתקבלות מכפלותיו של מספר מעגלי על ידי סידור ספרותיו במעגל וסיבוב המעגל

המספר המעגלי הקטן ביותר (בבסיס B=10) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן 285714, 428571, 571428, 714285 ו-857142, כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים מעגליים גדולים יותר, כמו המספר המעגלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים המעגליים. לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p. הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש-$10^{t}\equiv 1{\pmod {p}}$. לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.

מתברר שכל מספר מעגלי עשרוני הוא מהצורה ${\frac {10^{p-1}-1}{p}}$ (והכפולות של מספר זה) כאשר p ראשוני שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר p. המספרים המעגליים הראשונים מתקבלים עבור p=7,17,19,23,29,47,59,61. אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של p, אז ההצגה העשרונית של ${\frac {1}{p}}$ היא מחזורית, עם מחזור באורך p-1 המהווה בעצמו מספר מעגלי. כך למשל ${\frac {1}{7}}=0.142857142857...$.

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של p=13, שעבורו הסדר הוא 6 משום ש-$10^{6}-1=76923\cdot 13$, מתקבל מספר "מעגלי למחצה": כל תמורה מעגלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה מעגלית.

קישורים חיצוניים

• מספר מעגלי, באתר MathWorld (באנגלית)