הטופולוגיה הקו-מנייתית

הטופולוגיה הקו-מנייתית (cocountable topology) על קבוצה נתונה היא הטופולוגיה בה הקבוצות הסגורות הן הקבוצות בנות המנייה (והקבוצה כולה). היא נקראת כך משום שקבוצה אשר משלימהּ הוא בן מנייה נקראת קבוצה קו-מנייתית (cocountable).

הגדרה

תהי $X$ קבוצה נתונה. נגדיר עליה את הטופולוגיה הבאה:

$$T=\{A\subset X:|A^{c}|\leq \aleph _{0}\}\cup \{\phi \}$$

זו אכן טופולוגיה; כדי להוכיח זאת, נוכיח את התכונות המקבילות על אוסף הקבוצות הסגורות: $T^{c}=\{A\subset X:|A|\leq \aleph _{0}\}\cup \{X\}$.

• הקבוצה כולה והקבוצה הריקה שם לפי הגדרה.
• חיתוך כלשהי של קבוצות בנות מנייה מוכל באחת מהן, ולכן אף הוא בן מנייה.
• איחוד מספר סופי של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה.

טופולוגיה זו מכלילה במובן מסוים את הטופולוגיה הקו-סופית, בה הקבוצות הסגורות הן הסופיות (והקבוצה כולה).

תכונות

כל קבוצה $X$ עם הטופולוגיה הקו-מנייתית היא לינדלוף (מרחב בו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן מנייה), אך איננה קומפקטית אלא אם $X$ סופית.

אם הקבוצה איננה בת מנייה, המרחב קשיר מסילתית ואף קשיר מסילתית מקומית.

המרחב מקיים את אקסיומת ההפרדה הראשונה, אך בדרך כלל איננו האוסדורף: זה קורה אם ורק אם $X$ עצמה בת מנייה, ואז הטופולוגיה היא דיסקרטית. בכל זאת, הגבולות של סדרות בה יחידים, שכן היא דיסקרטית סדרתית (כלומר, הסדרות היחידות המתכנסות בה הן הקבועות לבסוף).