הספר השני של יסודות

הספר השני של יסודות
Στοιχεῖα Βιβλίο ΙΙ
מידע כללי
מאת	אוקלידס
שפת המקור	יוונית עתיקה
סוגה	ספר לימוד
סדרה
ספר קודם	Elements Book 1
הספר הבא	Elements Book 3

הספר השני של יסודות הוא השני מתוך שלושה עשר חלקים של הספר 'יסודות' (או האלמנטים), המיוחס למתמטיקאי ההלניסטי אוקלידס מאלכסנדריה, מראשית המאה השלישית לפנה"ס. כחלק מארבעת הספרים הראשוניים, חלק זה עוסק בגאומטריה של המישור, ובאופן פרטני בנושא של השוואת שטחים. הספר קצר ביחס לספרים האחרים ומכיל רק 2 הגדרות ו-14 טענות. ספר זה, ביחד עם ספרים אחדים אחרים של "יסודות", היווה חלק חשוב בוויכוח בין היסטוריונים של המתמטיקה באשר לנוכחות של רעיונות אלגבריים בחיבור של אוקלידס ובמתמטיקה היוונית בכלל, במיוחד לאור כך שהוא ספר גאומטרי העוסק בהשוואת שטחים.

מבנה הספר עריכה

הספר מחולק לשני חלקים: הגדרות וטענות. ניתן לראות שהטענות מתחלקות לשני חלקים: עשרת המשפטים הראשונים הם למעשה משפטים המהווים תשתית עבור החלק השני שהוא ארבעה משפטים שהם טענות מסוג בעיות ומשימות בנייה.

הגדרות עריכה

כל מקבילית מלבנית נאמר שהיא מוכלת על ידי שני הקווים הישרים המכילים את הזווית הישרה.
ובכל אזור מקבילי יקרא כל אחת מהמקביליות בקוטר שלו עם שני המשלימים: 'גנומון' (מילה יוונית שפירושה 'משבצת הנגר', כלי בצורת L^[1])

טענות עריכה

אם נתונים שני קווים ישרים ואחד מהם נחתך למספר כלשהו של קטעים, המלבן המוכל על ידי שני הקווים הישרים שווה למלבן המוכל על ידי הקו הלא חתוך וכל אחד מהקטעים.
אם קו ישר נחתך באופן אקראי, המלבן המוכל על ידי השלם ושני הקטעים שווה לריבוע על השלם.
אם קו ישר נחתך באופן אקראי, המלבן המוכל על ידי השלם ואחד מהקטעים שווה למלבן המוכל על ידי הקטעים והריבוע על הקטע לעיל.
אם קו ישר נחתך באופן אקראי, הריבוע של השלם שווה לריבועים על הקטעים ופעמיים המלבן המוכל על ידי הקטעים.
אם קו ישר נחתך לקטעים שווים ולא שווים, המלבן המוכל על ידי הקטעים הלא שווים של השלם עם הריבוע על הקו הישר בין הנקודות של החתך שווה לריבוע על חצי.
אם קו ישר נחצה ומוסיפים לו קו ישר, המלבן המוכל על ידי השלם עם הישר הנוסף והקו הישר הנוסף עם הריבוע על החצי שווים לריבוע על הקו הישר שהוא החצי והקו הישר שהוסף.
אם קו ישר נחתך באופן אקראי, הריבוע על השלם וזה שעל אחד מהקטעים שניהם יחדיו שווים לפעמיים המלבן המוכל על ידי השלם והקטע הנאמר והריבוע שעל הקטע הנותר.
אם קו ישר נחתך באופן אקראי, ארבע פעמים המלבן המוכל על ידי השלם ואחד מהקטעים יחדיו עם הריבוע על הקטע הנותר שווה לריבוע המתואר על השלם והקטע לעיל כעל קו ישר אחד.
אם קו ישר נחתך לקטעים שווים ולא שווים, הריבועים על הקטעים הלא שווים של השלם הם כפולים מהריבוע על החצי והריבוע על הקטע בין החתכים.
אם קו ישר נחצה, ומוסיפים לו קו ישר, הריבוע על השלם עם הקו הישר הנוסף והריבוע על הקו הישר הנוסף שניהם יחדיו מהווים כפול מהריבוע על החצי ושל הריבוע המתואר על הקו הישר המורכב מחצי ומהקו הישר הנוסף כעל קו ישר אחד.
לחתוך קו ישר נתון כך שהמלבן המוכל על-ידי הקו השלם ואחד הקטעים שווה לריבוע על הקטע הנותר.
במשולשים קהיי זווית הריבוע על הצד שממול לזווית הקהה גדול יותר מסכום הריבועים על הצדדים המכילים את הזווית הקהה בפעמיים המלבן המוכל על ידי אחד מהצדדים על הזווית הקהה, כלומר זאת שעליה האנך נופל, והקו הישר הנחתך מבחוץ על ידי האנך לכיוון הזווית הקהה.
במשולשים חדי זווית הריבוע על הצד שממול לזווית החדה קטן יותר מסכום הריבועים על הצדדים המכילים את הזווית החדה בפעמיים המלבן המוכל על ידי אחד מהצדדים של הזווית החדה, כלומר זאת שעליה האנך נופל, והקו הישר הנחתף מבפנים על ידי האנך לכיוון הזווית החדה.
לבנות ריבוע שווה לצורה מלבנית נתונה.

הוכחה עריכה

נראה כדוגמה איך אוקלידס הוכיח בספר את משפט 5:

יהי AB נתון הנחצה בנקודה C נתונה, ונחתך לשני קטעים לא שווים בנקודה D.

אני טוען שהמלבן המוכל על ידי AD ו-DB ביחד עם הריבוע על CD שווה לריבוע על CB.

יהי CEFB הריבוע המתואר על CB ונצייר את BE (נובע ממשפט I.46 ["לבנות על קו ישר נתון ריבוע"]).

דרך D נצייר את DG במקביל לCE או לBF, ודרך H [נקודת החיתוך של DG ו-BE] ונצייר עוד קו KM במקביל לAB או לBM (נובע ממשפט I.31 ["לצייר דרך נקודה נתונה קו ישר המקביל לקו ישר נתון"]).

כעת, המשלים CH שווה למשלים HF (נובע ממשפט I.43 ["בכל מקבילית המשלימים של המקביליות על הקוטר שוות זו לזו"]).

ציור ההוכחה של טענה 5 בספר 2 של יסודות של אוקלידס

מכאן, CM שווה לDF, אך CM שווה לAL כי AC גם הוא שווה ל BC (נובע ממשפט I.36 ["מקביליות על בסיסים שווים ועל אותו מקבילים שווים זו לזו"]). לכן AL גם שווה לDF.

נוסיף את CH לכל אחד מהם [כל אחד מהמלבנים המוזכרים] ואז AH יהיה שווה לגנומון NOP. אך AH הוא המלבן AD, DB כי DH שווה לDB. לכן הגנומון NOP שווה גם למלבן AD,DB.

נוסיף את LG, השווה לריבוע על CD, לכל אחד מהם.

מכאן, הגנומון NOP וLG שווים למלבן המוכל על ידי AD,DB והריבוע על CD.

אך הגנומון NOP וLG הם הריבוע CEFB המתואר על CB.

לכן המלבן המוכל על ידי AD,DB יחד עם הריבוע על CD שווה לריבוע על CB.

מ.ש.ל^[2].

פרשנויות באשר למשמעות הספר עריכה

הספר עצמו לא מכיל תוצאות חדשות (בניגוד לספרים העיקריים של ארכימדס ואפולוניוס) וככל הנראה אוקלידס עצמו לא הוכיח את הטענות המופיעות בספר, אך ערכו היה בכך שהוא לקח את הדברים הנראים לו יסודיים ביותר, כמעיין ארגז כלים שאותו כל מתמטיקאי יווני יצטרך בהמשך הדרך, והוא היה מיוחד בכך שאיגד בתוכו בצורה שיטתית וכרונולוגית (מבחינת הוכחות) את הבסיס של המתמטיקה היוונית (ומכאן למעשה שמו: "יסודות"). במשך מאות שנים, בגלל התשתית והמבוא שהוא סיפק, הפך ספרו של אוקלידס לנכס צאן ברזל של המדע, ושל המתמטיקה בפרט, עד למאה ה-18. הוא אף היווה חומר חובה עבור הסטודנטים באוניברסיטאות אירופה בימי הביניים עבור נושאי האריתמטיקה והגאומטריה. אך עם התפתחות האלגברה בקרב מתמטיקאים ערבים החל מהמאה ה-8 ובקרב מתמטיקאים אירופאיים בימי הביניים המאוחרים והרנסאנס^[3], חלקים ממנו החלו להיות משוכתבים תוך צירוף שיח ורעיונות אלגבריים. באמצע המאה ה-19 היסטוריונים שחקרו את תולדות האלמנטים והציגו מהדורות ביקרויותיות והיסטורגפיות לקחו את הדבר הזה, והציגו את זה כאילו זאת הייתה כוונתם המקורית של היוונים, כלומר החלה להתפתח נקודת מבט לפיה המתמטיקה היוונית העתיקה היא למעשה "אלגברה בתחפושת גאומטרית".

אלגברה גאומטרית עריכה

אלגברה גאומטרית היא תפיסה היסטוריוגרפית לפיה המתמטיקה היוונית הקדומה, המנוסחת מוגדרת ומוכחת ברובה המוחלט באופן גאומטרי, היא למעשה אלגברה, שמסיבות מסוימות (כגון צרכים ריגורוזיים), לובשת "תחפושת" גאומטרית. מכאן, אם רוצים להסתכל על המתמטיקה של היוונים העתיקים בצורה היסטורית, זה נכון ואף רצוי להסתכל עליה בכלים אלגבריים מודרניים, כי "היא אלגברית במהותה". לפי קו מחשבה זה אין סכנה של פירוש מוטעה בהמרת הטיעונים לשפת האלגברה ובשימוש בסימון מודרני.

כך למשל, את הטענות שבספר השני של יסודות ניתן (ואף צריך) לפרש בצורה הבאה:

טענה 1 - $y*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=y*x_{1}+y*x_{2}+...+y*x_{n}$ באלגברה מודרנית תכונה זו מכונה בשם פילוג הכפל משמאל מעל לחיבור.
טענה 4 - $(y+z)^{2}=y^{2}+z^{2}+2yz$ למעשה זוהי נוסחת הכפל המקוצר של העלאה בריבוע (של חיבור)
טענה 5 - פתרון המשוואה הריבועית: $ax-x^{2}=b^{2}$ (על פירוש זה במיוחד יורחב בהמשך)
טענה 7 - $(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab$ למעשה זוהי נוסחת הכפל המקוצר של העלאה בריבוע (של חיסור)

היסטוריונים שפיתחו או קידמו רעיון זה במיוחד היו: גאורג נסלמן (אנ'), תומאס הית', פול טנרי (אנ'), הירונימוס גאורג צויטן (אנ'). ישנם גם היסטוריונים שייחסו רעיון זה בנוסף אל מתמטיקה עתיקה של עמים אחרים כגון הבבלים והמצרים כגון: אוטו נויגבאואר, ובארטל לנדרט ון דר וארדן (אנ').

גישה זאת הוסיפה לפופולריות של "יסודות", שכעת היווה לא רק את הבסיס הקדום של המתמטיקה, אלא הכיל אף טענות אלגבריות מודרניות ומתקדמות שהיו "חבויות" מתחת למעטה של גאומטריה ואריתמטיקה עתיקה.

רעיון זה של האלגברה הגאומטרית נהפך למוסכם כללית בתחום חקר ההיסטוריה של המתמטיקה בחצי השני של המאה ה-19, והיה מאוד פופולרי בקרב רוב מייסדי האלגברה המודרנית (וייט, דקארט, פרמה) ונשאר ככזה למשך יותר מ-100 שנה.

ביקורת עריכה

למרות שהפרשנות בסגנון של האלגברה הגאומטרית הייתה הגישה ההיסטוריוגרפית השלטת כמאה שנה, החל מהרבע האחרון של המאה העשרים החלו כמה מתמטיקאים והיסטוריונים להעלות התנגדות לפרשנות זאת בטענה שהיא מטעה, אנכרוניסטית ושגויה. ראוי לציון במיוחד מאמרו פורץ הדרך (ומעורר המחלוקת אז) של שבתאי אונגורו ב-1975 שקרא לשכתב מחדש את ההיסטוריה של המתמטיקה היוונית במה שהוא מכנה "על בסיס היסטורי שפוי"^[4].

אונגורו טוען שאין שום בסיס היסטורי מספק לגישת האלגברה הגאומטרית המקובלת, ושהיא המצאה דמיונית של מתמטיקאים מודרניים שקוראים טקסטים קדומים דרך משקפיים מודרניות. הוא תוקף אותה בנימוקים הבאים:

מן האלגברה הגאומטרית נגרס שההוכחות המודרניות הן בדיוק מה שהיה למתמטיקאים העתיקים כשהם כתבו את שכתבו.
מסקנה נוספת מגישה זאת היא שכשמתמטיקאי מצליח להראות ששני טקסטים לא קשורים, השייכים לשתי תרבויות זרות ולשתי תקופות שונות, יש להן תוכן אלגברי זהה, למרות שיש להם מראה צורה ותוכן שונים לחלוטין – זה נעשה לגיטימי לחשוב שיש קשר ביניהן, ולהסיק שהיו השפעות והעברות מידע מבחינה היסטורית, אפילו אם אין שום ביסוס היסטורי לכך. ומעבר לכך, מתמטיקה היא בבואה של תרבות, זאת הסיבה הבסיסית ביותר מדוע יש מתמטיקה מצרית, בבלית ויוונית, אשר שונות זו מזו, ולא סתם "מתמטיקה עתיקה".
הגישה נכשלת לענות על השאלה הברורה ביותר: אם המתמטיקאים היוונים חשבו בצורה אלגברית, והנימוקים, ההוכחות והמבנים שלהם הם אלגבריים באופן מהותי (כפי שהתומכים בגישה זאת טוענים), אז למה הם נותרו עם שיטה מסורבלת וקשה כל כך על ידי אמצעים גאומטריים? למה המסגרת האלגברית נותרת מוסתרת אם אין ספק בבסיס האלגברי שעליו מבוססת המתמטיקה היוונית? אפילו מבחינת הסימון עצמו היוונים לא השתמשו באלפבית היווני כדי לסמל מספרים.
אונגרו מצביע גם על כך שגאומטריה היא חשיבה על מרחב ותכונותיו אשר מגולמת עם ייצוג של דיאגרמות, מה שמאוד שונה מצורת חשיבה אלגברית שמאופיינת בסימול של פעולות וביחסים מתמטיים ופחות באובייקטים המתמטיים עצמם ומאבסטרקטיות והכללות לא אינטואטיביות. אלו הן הבדלים מהותיים של שתי דרכי חשיבה שונות, ולכן לא יכול להיות שהמתמטיקאים היוונים כתבו בצורה גאומטרית, אך באמת התכוונו וחשבו בצורה אלגברית.
היסטורית הרעיון של אלגברה גאומטרית אינו אפשרי, שכן תנאי הכרחי לכך הוא קיום אלגברה כלשהי לפני כן שממנה היוונים יצאו. אך זו מעולם לא הייתה קיימת, שכן לא היית שום אלגברה בעידן הטרום-נוצרי. לכן לא הייתה יכולה להיות שום אלגברה גאומטרית.

אונגרו במאמרו מנסה להביא סיבות לעלייתה של גישה זאת, הוא טוען ש:

אנשים מתבלבלים מן העובדה שיש איזומורפיזם בין גאומטריה ואלגברה (שבא לידי ביטוי באופן מובהק בגאומטריה אנליטית) כי תמיד אפשר להמיר צורה ומבנה גאומטרי למקביל האנליטי האלגברי שלו, דרך טכניקות אלגבריות. אך זאת לא הנקודה ההיסטוריוגרפית המהותית! העברה כזאת עושה נזק בלתי הפיך למאפיינים המיוחדים והספציפיים של הגאומטריה היוונית, ובכל חוטאת למקצוע ההיסטוריה.
הסיבה שיש כל כך הרבה כותבים שמדברים על אלגברה גאומטרית היא אך ורק בגלל שיצא להם לחיות בתקופה שבה כבר הומצאה האלגברה והשימושים שלה בגאומטריה (כגון גאומטריה אנליטית) ומניחים לפיכך באופן א-היסטורי שיש סימטריה, כלומר מניחים שגם המקרה של יישומים של גאומטריה לאלגברה גם קרה. אך זו לא מסקנה קבילה היסטורית.
העובדה שמי שכתב את ההיסטוריה של המתמטיקה והמתמטיקה היוונית בפרט היו בדרך כלל מתמטיקאים בחזית הפיתוחים המודרניים של תחומם שלא יכלו לוותר על המידע שרכשו בזמן עיסוקם בתקופות היסטוריות בהן ידע זה היה לא רלוונטי ולא קיים.

אונגורו במאמרו מציין שהוא לא היחיד שיצא כנגד עמדה זאת באותה התקופה, הוא מציין בין היתר גם את כתביהם של אבל ריי (אנ')^[5], מייקל שון האוני (אנ') ובמיוחד את יעקוב קליין (אנ')^[6] שסתרו וביקרו את הרעיון והמאפיינים של האלגברה הגאומטרית. אמנם אונגורו לא היה היחיד או הראשון שביקר את התפיסה השלטת, אך מאמרו היה פורץ דרך בטענותיו, בטונו, ובהשלכותיו.

באותו הזמן תקף גם וילבור קנור (אנ') תפיסה זאת^[7].

דוגמה לשוני בין הגישות עריכה

נתייחס למשפט 5, שהוכחתו לפי אוקלידס כבר מפורטת למעלה, ונראה כיצד היא מתפרשת היסטורית מנקודת המבט של האלגברה הגאומטרית (המיוצגת בכתיביו של הית' לדוגמה, אשר תרגומו לאנגלית של ספר יסודות היה מאוד פופולרי בקרב היסטוריונים) ומנקודת המבט של שלילתה (נקח לדוגמה את אונגורו) בצורה שונה.

הית' עריכה

בתרגומו לספר השני של יסודות הית' רושם בהערותיו לאחר הוכחתו של אוקלידס את משפט 5^[8] שלמעשה הדבר הכי חשוב על משפטים 5,6 זה הכיוון שלהם על פתרון גאומטרי למשוואה ריבועית. הוא מראה שאם נסמן את אורך AB בתור $a$ , ואת אורך DB בתור $x$ , אז שטח המלבן AH, שהוא גם שטח הגנומון NOP, הוא $ax-x^{2}$ . ואם שטחו של הגנומון נתון, למשל $b^{2}$ , אז בעיית פתרון המשוואה $ax-x^{2}=b^{2}$ היא, בשפה גאומטרית: "עבור קו ישר (בגודל $a$ ), ליישם מלבן השווה לריבוע נתון (שגודלו $b^{2}$ ) אם מורידים ממנו ריבוע אחר".

פרשנותו של הית' לגבי משפט 5 ספר 2

אונגורו עריכה

אונגורו מצביע על העובדה שבכתביו של אוקלידס עצמו אין בדל של משוואות לגבי הוכחת משפט זה, ובכלל בכל ספרו, ואף בשום מקום במתמטיקה היוונית הקלאסית. ההוכחה היא בצורה גאומטרית טהורה ומכילה שרשור לוגי של טענות על עצמים גאומטריים. אין כאן שום סימולים, ובפרט, שום פעולות שנעשים על הסימולים הללו. מה שכמובן מאפיין גאומטריה ולא אלגברה. ובכלל אונגורו טוען שהערתו של הית' לא מראה שום דבר: היוונים לא ידעו מהי משוואה ריבועית בכלל, ובפרט לא ידעו איך לפתור אותה.

תוצאה והמצב כיום עריכה

מאמרו השנוי במחלוקת והתקיף של אונגורו לא התקבל בעיין יפה בקרב החוקרים, וזכה לתגובות נגד משמעותיות^[9]^[10]^[11] שלהם אונגרו ענה במאמר נוסף בשנת 1979^[12]. אך ברבות הזמן החלו עוד אנשים להמשיך תקוף את רעיון האלגברה הגאומטרית: אונגורו ודוויד רוו (אנ') ב 1981 ושוב ב 1982^[13], קנור שוב ב 1986^[14], קן סאיטו ב 1986^[15], אייבור גרטן-גינס (אנ') ב 1996^[16], אונגורו ומיכאל נ. פריד ב 2001^[17]. ומלבד זאת, החלו חוקרים לדבר על אנלוגיות בין מתמטיקה יוונית עתיקה, במיוחד זו שבאה לידי ביטוי ביסודות, לבין מתמטיקה מודרנית ללא כפיית גישת באלגברה הגאומטרית^[18].

כיום הפרדיגמה התהפכה: רוב ההיסטוריונים של המתמטיקה דוחים את העמדה של האלגברה הגאומטרית, והיא נחשבת מיעוט לא משמעותי היום. בין האנשים היחידים שעדיין מסנגרים על גישה זאת בולט ויקטור בלאשו שבמאמרו משנת 2015^[19], מנסה להדוף את הביקורות של המאמרים העיקריים שיצאו נגד שיטה זאת. הוא טוען ש"לגאומטריה האלגברית מגיע משפט הוגן", ו"שהגיע הזמן לקחת צעד אחורה ולהפסיק את ההתנגדות השטחית האוטומטית כלפי הגאומטריה האלגברית ולהסתכל עליה במבט חדש עם ראש פתוח".

ראו גם עריכה

לקריאה נוספת עריכה

Thomas L. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1: Books 1-2 2nd ed. Edition, Dover publications inc. New York, 1956
D. H. FOWLER, Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan Theory of Ratio, November 1980
Szabó, Árpád. 1969. The beginnings of Greek mathematics, Synthese historical library 17, Reidel, 1978

קישורים חיצוניים עריכה

הערות שוליים עריכה

^ Euclid's Elements, Book II, Definitions, aleph0.clarku.edu
^ הסוגריים המרובעים [] אינם מופיעות במקור והם הערות כדי שיהיה לקורא ברור יותר במה מדובר.
^ Leo Corry, Geometry and arithmetic in the medieval traditions of Euclid’s Elements: a view from Book II, 2013
^ Sabetai Unguru, On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, Archive for History of Exact Sciences 15 (1975), 67–114
^ Abel Rey, Les Mathématiques en Grèce au milieu du Ve siècle, 1939
^ Jacob Klein, Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra, Springer, 1936
^ Wilbur R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements, Dordrecht: Reidel, 1975.
^ עמוד 383 בכרך הראשון שלו משנת 1956
^ Bartel Leendert van der Waerden, Defence of a Shocking Point of View, Archive for History of Exact Sciences 15 (1976), 199–210
^ Andre´ Weil, Who Betrayed Euclid? Archive For History of Exact Sciences 19 (1978), 91–93
^ Hans Freudenthal, What is Algebra and What Has It Been in History?, Archive for History of Exact Sciences 16 (1977), 189–200
^ Sabetai Unguru, History of Ancient Mathematics: Some Reflections on the State of the Art, Isis 70 (1979), 555–565
^ Sabetai Unguru and David E. Rowe, Does the Quadratic Equation Have Greek Roots? A Study of ‘Geometric Algebra,’ ‘Application of Areas,’ and Related Problems, Libertas Mathematica 1 (1981), 1–49; 2 (1982), 1–62
^ Wilbur R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Basel: Birkhau¨ ser, 1986
^ Ken Saito, Compounded Ratio in Euclid and Apollonius, Historia Scientiarum 30 (1986), 25–59
^ Ivor Grattan-Guinness, Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid’s Elements: How Did He Handle Them?, HISTORIA MATHEMATICA 23 (1996), 355–375
^ Fried, Michael N., and Sabetai Unguru. 2001. Apollonius of Perga’s conica: Text, context, subtext. Leiden: Brill
^ David H. Fowler, The Mathematics of Plato’s Academy, Oxford: Clarendon Press, 1987
^ Viktor Blåsjö, In defence of geometrical algebra, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 9 December 2015

[1] Euclid's Elements, Book II, Definitions, aleph0.clarku.edu

[2] הסוגריים המרובעים [] אינם מופיעות במקור והם הערות כדי שיהיה לקורא ברור יותר במה מדובר.

[3] Leo Corry, Geometry and arithmetic in the medieval traditions of Euclid’s Elements: a view from Book II, 2013

[4] Sabetai Unguru, On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, Archive for History of Exact Sciences 15 (1975), 67–114

[5] Abel Rey, Les Mathématiques en Grèce au milieu du Ve siècle, 1939

[6] Jacob Klein, Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra, Springer, 1936

[7] Wilbur R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements, Dordrecht: Reidel, 1975.

[8] עמוד 383 בכרך הראשון שלו משנת 1956

[9] Bartel Leendert van der Waerden, Defence of a Shocking Point of View, Archive for History of Exact Sciences 15 (1976), 199–210

[10] Andre´ Weil, Who Betrayed Euclid? Archive For History of Exact Sciences 19 (1978), 91–93

[11] Hans Freudenthal, What is Algebra and What Has It Been in History?, Archive for History of Exact Sciences 16 (1977), 189–200

[12] Sabetai Unguru, History of Ancient Mathematics: Some Reflections on the State of the Art, Isis 70 (1979), 555–565

[13] Sabetai Unguru and David E. Rowe, Does the Quadratic Equation Have Greek Roots? A Study of ‘Geometric Algebra,’ ‘Application of Areas,’ and Related Problems, Libertas Mathematica 1 (1981), 1–49; 2 (1982), 1–62

[14] Wilbur R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Basel: Birkhau¨ ser, 1986

[15] Ken Saito, Compounded Ratio in Euclid and Apollonius, Historia Scientiarum 30 (1986), 25–59

[16] Ivor Grattan-Guinness, Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid’s Elements: How Did He Handle Them?, HISTORIA MATHEMATICA 23 (1996), 355–375

[17] Fried, Michael N., and Sabetai Unguru. 2001. Apollonius of Perga’s conica: Text, context, subtext. Leiden: Brill

[18] David H. Fowler, The Mathematics of Plato’s Academy, Oxford: Clarendon Press, 1987

[19] Viktor Blåsjö, In defence of geometrical algebra, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 9 December 2015

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]