חוק המסה-הארה

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

באסטרופיזיקה, חוק המסה-הארה (באנגלית: Mass–luminosity relation) הוא קשר מתמטי בין מסתו של כוכב לעוצמת ההארה שלו, שזוהה לראשונה על ידי יאקוב קרל ארנסט הלם. הקשר מיוצג על ידי המשוואה:

$${\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}$$

כאשר $L_{\odot }$ ו-$M_{\odot }$ הם עוצמת ההארה ומסתה של השמש ו-a קבוע בין 1 ל-6. משוואה זאת והערך של a = 3.5 משמש בדרך כלל עבור כוכבים על הסדרה הראשית. משוואה זאת והערך הרגיל של a = 3.5 תקפים רק לכוכבי הסדרה הראשית שהינם בעלי מסה $2M_{\odot }<M<55M_{\odot }$, ואינה תקפה עבור ענקים אדומים או ננסים לבנים.

פיתוח הקשר

פיתוח חוק מסה/הארה מדויק תאורטית דורש מציאה של משוואת יצירת האנרגיה ובניית מודל תרמודינמי לפנים הכוכב. עם זאת, הקשר הבסיסי L ∝ M³ ניתן לגזירה באמצעות עקרונות פיזיקליים בסיסיים והנחות מפשטות. פיתוח כזה בוצע לראשונה על ידי האסטרופיזיקאי ארתור אדינגטון ב-1924.

אחד הרעיונות המרכזיים מאחורי הפיתוח של חוק המסה-הארה הוא שניתן להסיק את הפרמטרים התרמודינמיים המאפיינים כוכב על הסדרה הראשית, כגון הטמפרטורה הממוצעת שלו, ממסתו ורדיוסו. מסתו ורדיוסו של הכוכב מאפשרים לחשב את האנרגיה הכובדית העצמית שלו $E_{G}$, בהתאם לקשר:

$E_{G}=-C\cdot {\frac {3GM^{2}}{5R}}$

כאשר C הוא קבוע מספרי התלוי בהרכב הכוכב, השווה ל-1 עבור כוכב כדורי בעל צפיפות מסה אחידה.

מן המשפט הויריאלי, התקף הן לענן המולקולרי ממנה נוצר הכוכב והן לכוכב עצמו, ניתן להסיק את האנרגיה הקינטית הממוצעת $<E_{k}>$ של חלקיקי הכוכב:

$E_{k}=-{\frac {E_{G}}{2}}\implies <E_{k}>=E_{k}\cdot {\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}$

כאשר $m_{n}$ היא המסה הממוצעת לגרעין אטום של החומר ממנו עשוי הכוכב. מכיוון שהאנרגיה הקינטית הממוצעת היא מדד לטמפרטורת הממוצעת של הכוכב $T$, נקבל:

${\frac {3}{2}}k_{B}T=<E_{k}>\implies T=C{\frac {1}{5}}{\frac {GMm_{n}}{k_{B}R}}$

באמצעות קירוב הכוכב כגוף שחור ניתן להסיק, לפי חוק סטפן-בולצמן, את הצפיפות הממוצעת $u$ של אנרגיית הקרינה בתוך הכוכב:

$$u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}$$

כאשר

$$\sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}$$

הוא קבוע סטפן-בולצמן, c היא מהירות האור, k_B הוא קבוע בולצמן ו-$\hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

בתוך אזור הקרינה של הכוכב, שבו עיקר מעבר החום הוא קרינתי ותהליכי ההסעה וההולכה זניחים, הפוטונים מקיימים, בדומה לחלקיקי חומר, את חוקי הדיפוזיה של פיק:

$$L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}$$

כאשר D הוא מקדם הדיפוזיה של הפוטונים.

אחת מהנחות המוצא עבור כוכב על הסדרה הראשית היא שהוא מצוי בשיווי משקל תרמי, ולכן הטמפרטורה של קליפות כדוריות שלו קבועה בזמן בקירוב. לפיכך, שכבות הכוכב באזור הקרינה חייבות לקיים מצב של גרדיאנט קבוע של צפיפות האנרגיה הקרינתית, וניתן להניח ששטף האנרגיה הקרינתית מליבת הכוכב אל פני השטח שלו אחיד בקירוב ופרופורציונלי ליחס בין הצפיפות הממוצעת של אנרגיית הקרינה בתוך הכוכב לרדיוסו:

$L\approx 4\pi R^{2}D{\frac {u}{R}}=4\pi R^{2}D{\frac {4\sigma _{B}T^{4}}{cR}}=4\pi R^{2}D{\frac {4\sigma _{B}(C{\frac {1}{5}}{\frac {GMm_{n}}{k_{B}R}})^{4}}{cR}}={\frac {16\pi \sigma _{B}D(GCm_{n}/k_{B})^{4}}{625cR^{3}}}M^{4}$

כלומר מכיוון שצפיפות האנרגיה הקרינתית יחסית לחזקה הרביעית של הטמפרטורה, והטמפרטורה יחסית למסת הכוכב, נראה לכאורה שעוצמת ההארה פרופורציונלית למסת הכוכב ברביעית.

אולם חוקי הדיפוזיה, שמכתיבים את קצב תחלופת האנרגיה הקרינתית בין שכבות הכוכב, כוללים גם את קבוע הדיפוזיה D, שעבור פוטונים הוא:

$$D={\frac {1}{3}}c\,\lambda$$

כאשר λ הוא המהלך החופשי הממוצע של פוטון. מכיוון שהחומר באזור הקרינה הוא כה דחוס עד שהפוטונים יכולים לעבור רק מרחק קצר לפני שהם מתפזרים או נבלעים על ידי חלקיק אחר, הדיפוזיה הקרינתית מעוכבת באופן משמעותי על ידי נוכחות חלקיקי החומר. למשל, מוערך כי לפוטון של קרינת גמא היוצא מליבת השמש לוקח 171,000 שנים עד שהוא יוצא מאזור הקרינה של השמש. מכיוון שחלקיקי החומר מיוננים לגמרי באזור הקרינה, האינטראקציה המרכזית בין הקרינה האלקטרומגנטית לחומר מתבצעת דרך פיזור קומפטון של הפוטונים כתוצאה מהתנגשויותיהם באלקטרונים. המהלך החופשי הממוצע λ יחסי הפוך לחתך הפעולה לפיזור של פוטונים מאלקטרונים, המכונה חתך תומסון, ולצפיפות הנפחית של האלקטרונים:

$$\lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}$$

כאן $n_{e}$ היא צפיפות האלקטרונים ו-:

$$\sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}$$

הוא חתך הפעולה לפיזור פוטונים מאלקטרונים. α הוא קבוע המבנה הדק ו-m_e מסת האלקטרון. צפיפות האלקטרונים הממוצעת בפנים הכוכב היא:

$$\langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}$$

שילוב כל המשוואות יחדיו מניב את חוק המסה-הארה:

$L\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}$

כאשר בחישוב נוסף פקטור של 1/15 עבור השמש. באופן כללי, הפקטור המספרי הקבוע תלוי למעשה במסת הכוכב, כך שמקבלים לבסוף תלות מקורבת של $M^{3.5}$.

ראו גם

• הסדרה הראשית