טיוטה:מרחב סובולב

באנליזה מתמטית, מרחבי סובולב $W^{k,p}$ הם מרחבי פונקציות המוגדרים על ידי ההשלמה של מרחבי הפונקציות הגזירות ביחס לנורמת $L^{p}$. הם בעלי חשיבות רבה לאנליזה מתמטית ובמיוחד לתחום של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. הם נקראים על שמו של המתמטיקאי הרוסי סרגי סובולב.

נגזרות חלשות

תהי $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ קבוצה פתוחה. יהי $f$ פונקציה גזירה $k$ פעמים ברציפות, בהינתן פונקציית בוחן $g\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, אנו מקבלים מאינטגרציה בחלקים, לכל מולטי-אינדקס $\alpha =(m_{1},..m_{k})$ כאשר $1\leq m_{i}\leq n$:

$$\int _{\Omega }fD^{\alpha }gdx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }gD^{\alpha }fdx$$

נגדיר שיכון של $L^{1}(\Omega )\rightarrow (C_{c}(\Omega ))^{*}$ על ידי הזיווג $\langle g,f\rangle :=\int _{\Omega }gfdx$. עם סימון זה הנוסחא הופכת ל-

$$.\langle g,D^{\alpha }f\rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle D^{\alpha }g,f\rangle$$

נבחין כי צד ימין הוא פונקציונל ליניארי שתלוי רק ב-$f$, ומזדהה עם התמונה של $D^{\alpha }f$ תחת השיכון שתואר לעיל. שוויון זה מציע את ההגדרה הבאה: תהא $f$ אינטגרבילית מקומית, נגדיר את הנגזרת החלשה של $f$ מסדר $\alpha$ (אם היא קיימת) כפונקציה האינטגרבילית מקומית $u$ שמקיימת

$$\int _{\Omega }fD^{\alpha }gdx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }gudx$$

לכל פונקציית בוחן $g$. נבחין כי אם $u$ קיימת אז היא מוגדרת ביחידות כמעט בכל מקום.

הגדרה

נסמן ב-$W^{k,p}$ את מרחב הפונקציות ב-$L^{p}$ עם נגזרת חלשה מסדר $\alpha$ ב-$L^{p}$ לכל $|\alpha |\leq k$. ישנן כמה דרכים שקולות לתת ל-$W^{k,p}$ מבנה של מרחב נורמי, ביניהן:

$$||f||_{W^{k,p}}=\sum _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }f||_{L^{p}}$$

$$||f||_{W^{k,p}}=\max _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }f||_{L^{p}}$$

$$||f||_{W^{k,p}}={\sqrt[{p}]{\sum _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }f||_{L^{p}}^{p}}}$$

כאשר הסכום נלקח על כל המולטי-אינדקסים באורך לכל היותר $k$. תחת נורמת המכפלה המתאימה, נוכל לזהות את $W^{k,p}$ כתת-מרחב סגור של $(L^{p})^{N}$ עבור $N$ מספיק גדול. עבור $p=2$ הנורמה השלישית מתאימה למבנה של מרחב מכפלה פנימית על $W^{k,2}$, שהופך את $W^{k,2}$ למרחב הילברט.

מאי שוויון הלדר, אם $f_{n}\rightarrow f$ ו-$D^{\alpha }f_{n}\rightarrow u$, כאשר ההתכנסות היא ב-$L^{p}$, אז $u=D^{\alpha }f$, ולכן $W^{k,p}$ הוא תת-מרחב סגור של המרחב $(L^{p})^{N}$, ועל כן אנו רואים כי $W^{k,p}$ מרחב בנך והוא רפלקסיבי עבור $p\in (1,\infty )$.

המרחב $C^{\infty }({\bar {\Omega }})$ צפוף ב-$W^{k,p}$, ועל כן $W^{k,p}$ היא ההשלמה של $C^{\infty }({\bar {\Omega }})$ ביחס לנורמה $||\cdot ||_{W^{k,p}}$. ההשלמה של תת-המרחב $C_{c}^{\infty }({\Omega })$ ב-$W^{k,p}$ מסומנת על ידי $W_{0}^{k,p}$.

לקריאה נוספת

Evans, Lawrence C. (2010) [1998]. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.

קישורים חיצוניים

• מרחב סובולב, באתר MathWorld (באנגלית)