משפט הפרפר
משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.
יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.
המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו.[דרוש מקור] למרות הניסוח הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".
הוכחה עריכה
נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: .
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר: , , ,
כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:
הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל
, או (1) .
לפי דרגה של נקודה:
ובדומה לכך:
נציב ב-(1):
אבל MP=MQ, ולכן מתקבל: ומכאן MX=MY.
קישורים חיצוניים עריכה
- משפט הפרפר באתר cut-the-knot (באנגלית)
- אבי סינגלר, משפט "עניבת הפרפר" במעגל ובאליפסה
- משפט הפרפר, באתר MathWorld (באנגלית)