תיבת אוילר
ערך מחפש מקורות | |
במתמטיקה, תיבת אוילר, שנקראת על שם לאונרד אוילר, היא תיבה אשר לכל צלעותיה ואלכסוני הפאות שלה יש אורכים שהם מספרים טבעיים. תיבת אוילר פרימיטיבית היא תיבת אוילר שכל האורכים של צלעותיה זרים זה לזה.
הגדרה עריכה
ההגדרה של תיבת אוילר במונחים גאומטריים היא (בהתאם למשפט פיתגורס) שקולה לפתרון של מערכת המשוואות הדיופנטיות הבאות:
כאשר a,b,c הם צלעות התיבה ו-d, e, f הם אלכסוני הפאות. אוילר מצא לפחות שני פתרונות פרמטריים, אך הם לא מרכיבים את כל הפתרונות האפשריים.
נוסחה יוצרת עריכה
ניתן לייצר מספר אינסופי של תיבות אוילר בעזרת הנוסחה הפרמטרית הבאה, הודות לאוילר. תהי (u,v,w) שלשה פיתגורית (כלומר u,v,w טבעיים ומקיימים ). אז הביטוי הבא לצלעות התיבה:
נותן אלכסוני פאות:
דוגמאות עריכה
לתיבת אוילר הקטנה ביותר, שנמצאה על ידי Paul Halcke ב-1719, יש צלעות (44,117,240) = (a,b,c) ואלכסוני פאות (125,244,267) = (d,e,f).
תיבה מושלמת עריכה
תיבת אוילר תיקרא תיבה מושלמת אם גם לאלכסון המרחבי שלה יש אורך טבעי. במילים אחרות, המשוואה הבאה נוספת למערכת המשוואות הדיופנטיות שמגדירות תיבת אוילר:
כאשר g הוא אורך האלכסון המרחבי. נכון למאי 2015, לא נמצאה שום דוגמה לתיבה מושלמת, אך גם לא הוכיחו שתיבות מושלמות לא קיימות.
קישורים חיצוניים עריכה
- תיבת אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)