אורתנט

בגאומטריה, אוֹרְתָנְט (באנגלית: Orthant) או היפר-אוקטנט (Hyperoctant) הוא הכללה של הרביע (ב-2 ממדים) ושל האוקטנט (ב-3 ממדים) עבור מרחב אוקלידי n-ממדי.

המחשה של אורתנטים במרחב תלת-ממדי (נקראים גם אוקטנטים). כל אחד מהאורתנטים צבוע בצבע שונה.

הגדרה

אורתנט במרחב n-ממדי הוא החיתוך של n חצאי מרחבים אורתוגונליים זה לזה. מכיוון שכל חצי מרחב מחלק את המרחב לשניים, ומדובר בחיתוך של n חצאי מרחבים, יוצא שקיימים בסך הכל $\ 2^{n}$ אורתנטים שונים.

דרך אחרת להגדיר אורתנט: אורתנט הוא תת-קבוצה של Rⁿ המוגדר על ידי הגבלת כל אחד מהצירים הקרטזיים להיות או אי-שלילי או אי-חיובי.

כלומר, האורתנט מוגדר להיות קבוצת כל הווקטורים: (x₁, x₂, ... x_n) המקיימים את מערכת המשוואות:

ε₁x₁ ≥ 0, ε₂x₂ ≥ 0 · · · ε_nx_n ≥ 0

כאשר לכל i,‏ ε_i הוא 1+ או 1−. מכיוון שיש n משתני ε_i, וכל אחד מהם יכול לקבל אחד מ-2 ערכים אפשריים (1+ או 1-), יוצא שקיימים $\ 2^{n}$ אורתנטים שונים.

אורתנטים בממדים נמוכים

בממדים נמוכים, יש לאורתנט שמות ספציפיים לכל ממד:

1. במרחב חד-ממדי, אורתנט נקרא גם "קרן" (Ray)
2. במרחב דו-ממדי, אורתנט נקרא גם "רביע" (Quadrant)
3. במרחב תלת-ממדי, אורתנט נקרא גם "אוקטנט" (Octant)

קישורים חיצוניים

• אורתנט, באתר MathWorld (באנגלית)

• Steven Roman, Advanced Linear Algebra, Chapter 15