אידיאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה שייכת לאידיאל, אז או ש- שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין או שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה עבור ראשוני.

אידיאל של חוג קומוטטיבי הוא פרימרי, אם בחוג המנה כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונותעריכה

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל   או   או   אז   ראשוני.

הוכחה. נניח  , לכן  . מתוך הפרימריות של   יוצא ש: או   או   עבור   כלשהו. עכשיו, אם   אז   ואם   אז  . לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקהעריכה

אידיאל   הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים   כך שהרדיקל   מקיים  . כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

מקורותעריכה

  • The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

ראו גםעריכה


קישורים חיצונייםעריכה