אי-שוויון ברנולי

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ לכל מספר שלם $n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $x>-1$ . יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ עולה בזמן שהסדרה $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי $e=2.718\ldots$ , כגבולן המשותף.

תחולה

האי-שוויון נכון לכל $n$ ממשי, ובלבד ש- $n\geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר $n$ טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל $x$ , וכאשר $n$ אי-זוגי הוא נכון לכל $x>-2$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור $x>0$ אפשר להוכיח על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}\geq {\binom {n}{0}}1^{n}x^{0}+{\binom {n}{1}}1^{n-1}x^{1}=1+nx

את המקרה הכללי (כלומר $x>-1$ ) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור $n=1$ מתקיים: $(1+x)^{1}=1+x\geq 1+x$ . נניח את נכונות האי-שוויון עבור $n=k$ , ונוכיח את נכונותו עבור $n=k+1$ . כלומר נניח כי $(1+x)^{k}\geq 1+kx$ ונוכיח כי $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$ . נשים לב כי $x>-1$ ולכן $1+x>0$ . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $(1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)$ , ומכאן $(1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}$ . הביטוי $kx^{2}$ חיובי ולכן מתקיים: $(1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\geq 1+kx+x=1+(k+1)x$ .