אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם ו- הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר .

האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללותעריכה

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

  • הגרסה המשוקללת: אם   הם מספרים חיוביים ו-  כמקודם, אז  .
  • גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז  ; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
  • הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז  .

הוכחת האי-שוויוןעריכה

מכיוון שהמספרים   סדורים באותו כיוון, לכל   מתקיים  , כלומר  . סיכום לכל i ולכל j נותן  .

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.

קישורים חיצונייםעריכה