אנליזה הרמונית

אנליזה הרמונית או ניתוח הרמוני הוא ענף במתמטיקה העוסק בייצוג של פונקציות או אותות כסופרפוזיציה של גלים בסיסיים, וחקר והכללה של המושגים של טורי פורייה והתמרות פורייה (כלומר צורה מורחבת של ניתוח פורייה). במאתיים השנים האחרונות, הענף הפך לנושא רחב הקף, עם יישומים בתחומים מגוונים כמו תורת המספרים, תורת הייצוג, עיבוד אותות, מכניקת הקוונטים, ניתוח גאות ושפל ומדעי המוח.

המונח "הרמוניה" מקורו במילה היוונית העתיקה "harmonikos", שפירושה "מיומן במוזיקה". בבעיות של ערכים עצמיים פיזיקליים, הכוונה היא לגלים שהתדרים שלהם הם כפולות שלמות זה של זה, כמו התדרים של ההרמוניות של תווי מוזיקה, אבל המונח הוכלל מעבר למשמעות המקורית שלו.

התמרת פורייה הקלאסית על Rⁿ היא עדיין תחום של מחקר מתמשך, במיוחד הנוגע להתמרת פורייה על אובייקטים כלליים יותר כגון התפלגויות מזג. לדוגמה, אם נטיל כמה דרישות על התפלגות f, נוכל לנסות לתרגם את הדרישות הללו במונחים של התמרת פורייה של f. משפט פיילי-וינר הוא דוגמה לכך. המשפט מרמז מיד שאם f הוא התפלגות שאינה-אפס של תמיכה קומפקטית (אלה כוללים פונקציות של תמיכה קומפקטית), אז התמרת פורייה לעולם אינה נתמכת באופן קומפקטי (כלומר, אם אות מוגבל בתחום אחד, הוא בלתי מוגבל באַחֵר). זוהי צורה מאוד אלמנטרית של עקרון אי ודאות במסגרת ניתוח הרמוני.

ניתן ללמוד טורי פורייה בהקשר של מרחבי הילברט, המספקים קשר בין אנליזה הרמונית לאנליזה פונקציונלית. ישנן ארבע גרסאות של התמרת פורייה, תלויות במרחבים הממופים על ידי הטרנספורמציה (בדיד/מחזורי–בדיד/מחזורי: התמרת פורייה בדיד, מתמשך/מחזורי–בדיד/א-מחזורי: טור פורייה, בדיד/א-מחזורי-רציף/מחזורי : התמרת פורייה בזמן דיסקרטי, מתמשכת/א-מחזורית-רציפה/א-מחזורית: התמרת פורייה).

ניתוח הרמוני מופשט

אחד הענפים המודרניים ביותר של ניתוח הרמוני, ששורשיו באמצע המאה ה-20, הוא ניתוח על קבוצות טופולוגיות. הרעיונות המניעים הליבה הם התמרות פורייה השונות, אותן ניתן להכליל לטרנספורמציה של פונקציות שהוגדרו על קבוצות טופולוגיות קומפקטיות מקומיות של האוסדורף.

התיאוריה של קבוצות קומפקטיות מקומיות אבליות נקראת דואליות פונטריאגין.

ניתוח הרמוני בוחן את המאפיינים של אותה דואליות והתמרת פורייה מנסה להרחיב את התכונות הללו להגדרות שונות, למשל, למקרה של קבוצות שקר לא-אבליות.

עבור קבוצות קומפקטיות מקומיות כלליות לא-אבליות, ניתוח הרמוני קשור קשר הדוק לתיאוריה של ייצוגי קבוצות יחידות. עבור קבוצות קומפקטיות, משפט פיטר-וייל מסביר כיצד ניתן לקבל הרמוניות על ידי בחירת ייצוג אחד בלתי ניתן לצמצום מתוך כל מחלקה שקילות של ייצוגים. בחירה זו של הרמוניות נהנית מכמה מהמאפיינים השימושיים של התמרת פורייה הקלאסית במונחים של נשיאת פיתולים למוצרים נקודתיים, או מראה הבנה מסוימת של מבנה הקבוצה הבסיסית. ראו גם: ניתוח הרמוני לא קומוטטיבי.

אם הקבוצה אינה אבלית ואינה קומפקטית, לא ידועה כיום תיאוריה כללית מספקת ("משביע רצון" פירושו חזקה לפחות כמו משפט פלנצ'רל). עם זאת, מקרים ספציפיים רבים נותחו, למשל SL_n. במקרה זה, ייצוגים בממדים אינסופיים ממלאים תפקיד מכריע.

ענפים נוספים

• מחקר של הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של הלפלסיאן על תחומים, סעפות ובמידה פחותה גרפים נחשב גם לענף של ניתוח הרמוני.
• ניתוח הרמוני במרחבים אוקלידיים עוסק בתכונות של התמרת פורייה ב-Rⁿ שאין להן אנלוגי על קבוצות כלליות. לדוגמה, העובדה שהתמרת פורייה היא בלתי משתנה בסיבוב. פירוק התמרת פורייה למרכיביה הרדיאליים והכדוריים מוביל לנושאים כמו פונקציות בסל והרמוניות כדוריות.
• ניתוח הרמוני על תחומי צינור עוסק בהכללת תכונות של מרחבי הארדי לממדים גבוהים יותר.

ראו גם

• טור פורייה - טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה
• מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס לנורמה שמשרה המכפלה הפנימית שלו
• אינטגרל לבג - הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות
• אלגברה ליניארית - תחום מרכזי במתמטיקה

לקריאה נוספת

• סמי זעפרני, אלן פינקוס "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות, הטכניון, 1997

• Folland, G.B., “Fourier Analysis and its Applications”,, Wadsworth & Brooks/Cole, 1992
• Protter, M.H., Morrey, C.B., “A First Course in Real Analysis”, Springer-Verlag, 1991
• Korner, T.W., “Fourier Analysis”,, Cambridge University Press, 1988

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אנליזה הרמונית בוויקישיתוף

• אנליזה הרמונית, באתר MathWorld (באנגלית)
• אנליזה הרמונית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• ניתוח הרמוני, דף שער בספרייה הלאומית