פוטנציאל אפקטיבי

במכניקה, פוטנציאל אפקטיבי (או: אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית) מאפשר להעביר בעיה רב ממדית למימד אחד, על ידי שימוש בתכונות שימור של מערכות פיזיקליות, בפרט שימור תנע זוויתי ואנרגיה. הפוטנציאל האפקטיבי מסומן לרוב כ-$\ U_{\text{eff}}$. יישום אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית מאפשר לפשט את בעיית שני הגופים המתארת תנועה של גופים בחלל כגון לוויינים, כוכבי לכת ואף כוכבים כפולים. השימוש בפוטנציאל אפקטיבי אפשרי כאשר פועל במערכת הפיזיקלית כוח מרכזי וניתן לתאר את התנועה סביב מרכזו באמצעות מערכת קואורדינטות קוטביות.

הגדרה

הפוטנציאל האפקטיבי עבור בעיית כוח מרכזי מוגדר כ: $$U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)$$

כאשר $V(r)$ היא האנרגיה פוטנציאלית ה"רגילה" ו-$L$ הוא התנע הזוויתי.

על ידי שימוש בפוטנציאל האפקטיבי ניתן לתאר את האנרגיה הכוללת של גוף בשדה מרכזי או בבעיית שני גופים רק כתלות במרחק ביניהם ובנגזרתו; שאר הגדלים בניסוח זה הם קבועי תנועה.

דוגמה: האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית עבור גוף בשדה כבידה ניוטוני

גרף הפוטנציאל האפקטיבי בבעיה הדו-גופית

הפוטנציאל הכבידתי (על פי תורת הכבידה של ניוטון) נתון בנוסחה:

$V(r)=-G{\frac {mM}{r}}$

לכן הפוטנציאל האפקטיבי הוא:

$U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}\$

צורת כתיבה זו מאפשרת כתיב מקוצר ויעיל עבור האנרגיה כפי שיתואר להלן:

האנרגיה של גוף בעל מסה m הנע תחת כוח הכבידה המרכזי הניוטוני (כלומר בהתאם לתורת הכבידה של ניוטון) מנוסחת במערכת הקואורדינטות הקוטביות כך:

$E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},$

כאשר:

• r הוא המרחק בין המסות
• ${\dot {r}}$ היא המהירות הרדיאלית (קצב שינוי המרחק בין המסות)
• ${\dot {\phi }}$ היא המהירות הזוויתית
• G הוא קבוע הכבידה
• E היא האנרגיה הכוללת של הגוף

גודל נוסף הנשמר בתנועה בכוח מרכזי הוא התנע הזוויתי המסומן ב-L והמנוסח במערכת הקואורדינטות הקוטביות כך:

$L=mr^{2}{\dot {\phi }}$

מן התנע הזוויתי ניתן לחלץ את ${\dot {\phi }}$ ולהציבו באנרגיה, וכך מתקבל:

$E={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}},$

לפי האמור לעיל, את שני האיברים האחרונים אפשר להחליף בפוטנציאל האפקטיבי, ואז הביטוי לאנרגיה במערכת מקבל את הצורה:

$E={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+U_{\text{eff}}(r)$

צורת כתיבה זו אינה רק נוחה יותר, אלא גם משקפת נקודת מבט שונה, לפיה המערכת היא כאילו במנוחה, והאנרגיה שלה מורכבת מאנרגיה קינטית (של המהירות הרדיאלית בלבד) + האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית, שהיא סכום של האנרגיה הפוטנציאלית "האמיתית" והחלק של האנרגיה הקינטית שנובע מן המהירות הזוויתית.

ראו גם

• מערכת ייחוס
• כוח מדומה