הטלה סטריאוגרפית

בגאומטריה, הטלה סטריאוגרפית היא העתקה מספירה (כדור), דרך נקודה מסוימת N (הקוטב או מרכז ההטלה), על מישור המשיק לספירה וניצב לקוטר העובר דרך הנקודה. ההטלה מתקיימת על ידי התאמת כל נקודה על הספירה (פרט למרכז ההטלה) עם הנקודה (היחידה) על המישור, שנמצאת על הקו הישר שעובר דרך הנקודה x ומרכז ההטלה N (ראו איור).

איור תלת־ממדי של הטלה סטריוגרפית מהקוטב הצפוני אל מישור מתחת לספירה

הטלה סטריאוגרפית ממעגל ברדיוס R לקו ישר המשיק לו. בקואורדינטות קרטזיות נקודת ההשקה היא (0,0) והקו המשיק הוא ציר ה-x.

באופן אינטואיטיבי, ההטלה הסטריאוגרפית היא דרך לתאר את הכדור בעזרת מישור, עם כמה פשרות בלתי נמנעות. היא יוצרת התאמה בין נקודות על ספירה, שאותן קשה לתאר על ידי קואורדינטות נוחות, לבין נקודות בקו ישר או במישור- שאותן קל יותר לתאר על ידי קואורדינטות.

ההטלה הסטריאוגרפית לא מוגדרת על מרכז ההטלה (הנקודה האנטיפודית לנקודת ההשקה) אבל ניתן לראות את ההטלה כמעבירה את הנקודה הזו לנקודת האינסוף, בהתאמה עם הגבול של ההטלה עבור סדרת נקודות שמתקרבות למרכז ההטלה.
במובן הזה, נקודת האינסוף היא חסרת כיוון. לדוגמה, בהטלה הסטריאוגרפית ממעגל לקו ישר נקודות הקרובות למרכז ההטלה יעברו לנקודות שמרחקן מנקודת ההשקה גדול כרצוננו, אך הן לא יוגבלו בכיוונן- הן יעברו גם לנקודות רחוקות מאוד מימין וגם לנקודות רחוקות מאוד משמאל לנקודת ההשקה, ולא נבחין בין הכיוונים כמו שנהוג בחשבון האינפיניטסימלי על ידי הסימונים $\ +\infty$ ו $\ -\infty$.

ההטלה הסטריאוגרפית היא הומאומורפיזם בין הספירה ה-n+1 ממדית (למעט מרכז ההטלה) לבין המרחב האוקלידי ה-n ממדי (שמוכל במרחב האוקלידי ה-n+1 ממדי), כאשר הטופולוגיה של הספירה מוגדרת על ידי הטופולוגיה המושרית עליה מהמרחב האוקלידי בו היא נמצאת. בצורה הזו ניתן לראות את הספירה כיריעה חלקה ואף אנליטית.

ההטלה הסטריאוגרפית היא קונפורמית, כלומר משמרת זוויות. בנוסף ההטלה מעבירה מעגלים על הספירה למעגלים במישור, אם המעגל לא עבר דרך מרכז ההטלה, ולישרים, אם המעגל כן עבר זה מרכז ההטלה. באופן הזה ניתן לחשוב על ישרים כמעגלים בעלי רדיוס אינסופי, או לחלופין כמעגלים העוברים דרך נקודת האינסוף.

מכיוון שהכדור והמישור מופיעים בתחומים רבים של מתמטיקה ויישומיה, כך מופיעה ההטלה הסטריוגרפית. ההטלה הסטראוגרפית שימשה כבר את האסטרונומים היווניים העתיקים ושימשה להטלת הכדורים השמימיים (Celestial spheres) על המישור כך שניתן יהיה לנתח את תנועות כוכבי הלכת וכוכבי השבת השונים באמצעות גאומטריית מישור. כיום היא מוצאת שימוש בתחומים מגוונים כולל אנליזה מרוכבת, קרטוגרפיה, גאולוגיה וצילום .

הקרנה סטריאוגרפית של העולם מצפון ל-30°S.

הבעיה הבסיסית של הקרטוגרפיה היא ששום מיפוי מהכדור למישור לא יכול לייצג במדויק גם זוויות וגם שטחים. באופן כללי, הטלות מפה המשמרות שטח הן עדיפות ליישומים סטטיסטיים, בעוד שהטלות מפה משמרות זווית (קונפורמיות) עדיפות למטרות ניווט. ההטלה הסטריאוגרפית נמצאת בקטגוריה השנייה. כאשר מרכז ההטלה הינו בקוטב הצפוני או הדרומי של כדור הארץ, יש לה תכונות רצויות נוספות: היא שולחת מרידיאנים לקרניים היוצאות מהראשית ומקבילות למעגלים שמרכזם בראשית.

ראו גם

• הספירה של רימן
• משפט הכדור השעיר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הטלה סטריאוגרפית בוויקישיתוף

• הטלה סטריאוגרפית, באתר MathWorld (באנגלית)