זהות ויינשטיין-ארונסיין

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם $A\in M_{m\times n}(F)$ היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו-$B\in M_{n\times m}(F)$ היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת

$$\det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA)$$

כאשר $I_{k}$ היא מטריצת היחידה מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא ${\mathcal {O}}(k^{3})$.

הוכחה

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים:

$$\det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}$$

אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות:

$${\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=X\cdot Y$$

כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה:

$$\det(XY)=\det(X)\det(Y)=\det(Y)\det(X)=\det(YX)$$

ברם,

$$YX={\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}$$

אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל

$$\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)$$

ואם נסכם הכל:

$$\det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)$$

מש"ל.

קישורים חיצוניים

• Sylvester's Determinant Identity, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 11:23)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.