זהות קאסיני

במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:

F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

כאשר $F_{k}$ הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.

לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

13\cdot 5-8^{2}=65-64=1

הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.

הוכחה

ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

\left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}

ולכן:

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}

אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה $r=1$ .

סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}

כאשר מוסכם שלכל n טבעי: $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה $i=r,j=-r$ .