זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות , כאשר הוא פולינום קפלי ב- משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ- מקיימת את הזהות . התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי , כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ- משתנים[1].

הזהות נובעת מן הזהות , כך שהתנאי הולך ונעשה חלש כאשר גדל. באלגברה עם יחידה , ו- אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום נקרא -מתחלף אם לכל מתקיים . פולינום קפלי ה--י הוא -מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה--מתחלף הכללי ביותר: היא זהות של האלגברה , אם ורק אם כל פולינום -מתחלף הוא זהות של . לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית אפשר להסיק מהזהות על ידי ההצבה (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות (מעל שדה ) מקיימת את זהות קפלי , אבל לא את הזהות . האלגברה מקיימת את אם ורק אם קומוטטיבי.

אם אלגברה מעל שדה ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים (כאשר הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים ), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה מקיימת את זהות קפלי אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל קיימת זהות קפלי הנובעת מן הזהות הסטנדרטית .

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Belov and Rowen, Computational Aspects of PIs, Theorem 6.8.2