פתיחת התפריט הראשי
אם הזווית B ישרה והקווים Aa ו-Bb הם מקבילים גבוליים (limiting parallels), אז הזווית בין Aa ל-AB היא זווית ההקבלה.

בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלהאנגלית: Angle of parallelism), שסימונה המקובל הוא , היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים. זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.

בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון. מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:

ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את עם a:

כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.

היסטוריהעריכה

המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים"[1] של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית. יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.

קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתך[2] בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו. באותו חיבור הוא הוכיח גם[3] כי יחס ההקבלה הוא יחס שקילות מעל אוסף הישרים ההיפרבוליים - הווה אומר שהוא חילופי (סימטרית) וטרנזיטיבי. עובדות אלו הן טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם מצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת; פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Nicholaus Lobatschewsky (1840) G.B. Halsted translator (1891) Geometrical Researches on the Theory of Parallels, link from Google Books
  2. ^ ,GAUSS AS A GEOMETER BY H, S, M, COXETER. [1]
  3. ^ Note on Gauss' Proof of the Reciprocity of Parallelism [2]