זרימה דו-ממדית

תנועת זורם היא זרימה דו-ממדית כאשר מהירות הזרימה בכל נקודה מקבילה למישור קבוע במרחב. בהינתן נורמל למשטח, המהירות בכל נקודה עליו קבועה.

מהירות הזורם ברימה דו-ממדית

מהירות הזורם בקואורדינטות קרטזיות

עבור זרימה דו-ממדית במישור $X-Y$, מהירות הזורם בכל נקודה $(x,y,z)$ בזמן $t$ מבוטא ע"י:

${\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.$

מהירות בקואורדינטות גליליות

עבור זרימה דו-ממדית במישור $r-\theta$, מהירות הזורם בכל נקודה $(r,\theta ,z)$ בזמן $t$ מבוטא ע"י:

${\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

ערבוליות בזרימה דו-ממדית

ערבוליות בקואורדינטות קרטזיות

ערבוליות בזרימה דו-ממדית במישור $X-Y$ מבוטא ע"י:

${\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},$

$\omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.$

ערבוליות בקואורדינטות גליליות

ערבוליות בזרימה דו-ממדית במישור $r-\theta$ מבוטא ע"י:

${\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}$

$\omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.$

מקור/בור דו-ממדי

קו/נקודת מקור

קו מקור הוא קו ממנו "יוצא" הזורם ומתרחק לאורך מישורים מאונכים לו. בהסתכלות דו־ממדית על מישורים אלו, קו מקור יופיע כנקודת מקור. מסימטריה נוכל להניח שהזרימה מתרחשת רדיאלית בכיוון החוצה מן המקור. עוצמת המקור נתונה על ידי הספיקה שהוא יוצר.

Fig 1 –קווי זרם הנוצרים על ידי קו מקור שמתלכד עם ציר ה- $Z$

קו/נקודת בור

בדומה לקו מקור, קו בור הוא קו שאליו "נכנס" הזורם המתקדם לקראתו ממישורים אשר מאונכים לו. בהסתכלות דו־ממדית על מישורים אלו, קו זה יופיע כנקודת בור. מסימטריה נוכל להניח שהזרימה מתרחשת רדיאלית בכיוון פנימה לעבר הבור. עוצמת הבור נתונה על ידי הספיקה שהוא סופג.

סוגי זרימה דו-ממדית

מקור זרימה מציפה

שדה זרימה סימטרי רדיאלית אשר מכוון אל מחוץ לנקודה המשותפת נקרא מקור הזרימה. הנקודה המשותפת היא קו המקור המתואר לעיל. הזורם מסופק בספיקה קבועה $Q$ מן המקור. שטח הזרימה גדל עם יציאת הזורם החוצה. כתוצאה מכך, על מנת שתתקיים משוואת הרצף, המהירות יורדת וקווי הזרם מתפשטים. המהירות זהה בכל נקודה במרחק נתון מהמקור.

Fig 2 - קווי זרם וקווי פוטנציאל עבור מקור זרימה

מהירות הזורם נתון ע"י:

${\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {r}}}.$

ניתן לגזור את הקשר בין ספיקה ומהירות הזרימה. נסתכל על גליל שציר הסימטריה שלו מתלכד עם המקור. הספיקה בה המקור פולט זורם צריך להיות שווה לספיקה בה הזורם יוצא מפני הגליל.

$\int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,$

$\therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.$

פונקציית הזרם עבור מקור זרם היא:

$\psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .$

הזרימה היציבה מנקודת המקור היא אי-רוטציונית ומתקבלת מגזירת המהירות הפוטנציאלית הנתונה ע"י:

$\phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.$

בור זרימה מציפה

בור זרימה הוא ההפך ממקור זרימה. קווי הזרם רדיאליים, פנימה לעבר קו המקור. ככל שמתקרבים לבור, שטח הזורם מצטמצם. על מנת לקיים את משוואת הרצף, קווי הזרם מצטופפים והמהירות קטנה ככל שמתקרבים מהמקור. בדומה למקור זרימה מציפה, מהירות הנקודות הנמצאות במרחק שווה מן הבור זהה.

Fig 3 - קווי זרם וקווי פוטנציאל עבור בור זרימה

מהירות הזורם מסביב לבור נתונה על ידי -

${\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},$

$v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.$

פונקציית הזרם עבור בור הי:

$\psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .$

הזרימה מסביב לקו הבור היא אי-רוטציונית ומתקבלת מגזירת המהירות הפוטנציאלית הנתונה ע"י:

$\phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.$

מערבולת אי-רוטציונית

מערבולת הוא אזור בו הזרימה מתרחשת מסביב לציר מדומה. ניתן לדמות זרימה בערבולת אי-רוטציונית בכל נקודה כחלקיק קטן שתנועתו קווית וללא סיבוב. במקרה זה המהירות משתנה ביחס הפוך עם הרדיוס. המהירות תשאף לאינסוף עבור $r=0$ והמרכז הוא נקודה סינגולרית. המהירות נתונה בצורה מתמטית על ידי -

${\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },$

$v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.$

מפני שהזרימה מתרחשת סביב ציר,

$v_{r}=0.$

פונקציית הזרם למערבולת אי-רוטציונית נתונה ע"י:

$\psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.$

כאשר המהירות הפוטנציאלית היא:

$\phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .$

עבור עקום סגור המקיף את הראשית, הסירקולציה (האינטגרל הקווי של שדה המהירות) היא $\Gamma =K$ ועבור כל עקום אחר $\Gamma =0$.

זוגן/דובלט

ניתן לתאר זוגן כשילוב של מקור ובור בעלי עוצמה זהה אשר מוצבים במרחק אינפיניטסימלי זה מזה. כך ניתן לראות שקווי הזרם מתחילים ומסתיימים באותה נקודה. עוצמת זוגן אשר נוצר ממקור ובור בעלי ספיקה $Q$, כאשר ביניהם מרחק $ds$, נתונה ע"י:

$\Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.$

ומהירות שדה הזרימה היא:

$v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,$

$v_{\theta }={\frac {-\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .$

Fig 5 - קווי זרם וקווי פוטנציאל עבור זוגן

המשוואות והגרף הם עבור התנאי: $ds\rightarrow 0$. מושג הזוגן מאוד דומה לדיפול חשמלי ומגנטי באלקטרודינמיקה.

ראו גם

• זרימה פוטנציאלית דו-ממדית

לקריאה נוספת

• Kothandaraman, C. P.; Rudramoorthy, R. (2006), Fluid Mechanics and Machinery (2nd ed.), New Age International, ISBN 978-1906574789

קישורים חיצוניים

• Two-dimensional sources and sinks