בתורת ההסתברות חלוקה מקרית של קבוצה היא משתנה מקרי המקבל את ערכיו בקבוצת החלוקות של קבוצה. חלוקות מקריות משמשות ביישומים בגנטיקה .[1]
לדוגמה, נגדיר חלוקה מקרית
Π
3
{\displaystyle \Pi _{3}}
N
3
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle N_{3}=\{1,2,3\}}
N
3
{\displaystyle N_{3}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
)
=
1
2
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
)
=
1
6
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{6}}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
,
3
}
}
)
=
1
3
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
)
=
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
)
=
0
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)=0}
עריכה
סדרה אינסופית של חלוקות מקריות
Π
1
,
Π
2
,
.
.
.
{\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2},...}
Π
i
{\displaystyle \Pi _{i}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,...}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
מספרים טבעיים
m
<
n
{\displaystyle m<n}
Π
n
{\displaystyle \Pi _{n}}
N
m
{\displaystyle N_{m}}
Π
m
{\displaystyle \Pi _{m}}
[1]
נניח ש-
Π
2
{\displaystyle \Pi _{2}}
Π
3
{\displaystyle \Pi _{3}}
N
2
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle N_{2}=\{1,2\}}
Π
2
{\displaystyle \Pi _{2}}
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
,
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
,
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
{\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\{\{1\},\{2,3\}\}}
{
{
1
}
,
{
2
}
}
{\displaystyle \{\{1\},\{2\}\}}
Pr
(
Π
2
=
{
{
1
}
,
{
2
}
}
)
=
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
)
+
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
)
+
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
)
=
1
2
{\displaystyle \Pr(\Pi _{2}=\{\{1\},\{2\}\})=\Pr(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\})={\frac {1}{2}}}
באופן דומה מקבלים ש-
Pr
(
Π
2
=
{
{
1
,
2
}
}
)
=
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
)
+
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
,
3
}
}
)
=
1
2
{\displaystyle \Pr(\Pi _{2}=\{\{1,2\}\})=\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\})={\frac {1}{2}}}
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,...,n\}}
עריכה
חלוקה מקרית חילופית
Π
n
{\displaystyle \Pi _{n}}
N
n
=
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle N_{n}=\{1,...,n\}}
N
n
{\displaystyle N_{n}}
A
{\displaystyle A}
N
n
{\displaystyle N_{n}}
תמורה
θ
{\displaystyle \theta }
N
n
{\displaystyle N_{n}}
Pr
(
Π
n
=
A
)
=
Pr
(
Π
n
=
θ
(
A
)
)
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)=\Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)}
החלוקה המקרית בדוגמה למעלה איננה חילופית. כדי לראות זאת נבחר את התמורה
θ
(
1
)
=
3
,
θ
(
2
)
=
2
,
θ
(
3
)
=
1
{\displaystyle \theta (1)=3,\theta (2)=2,\theta (3)=1}
A
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle A=\{\{1,2\},\{3\}\}}
Pr
(
Π
n
=
A
)
=
1
6
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)={\frac {1}{6}}}
θ
(
A
)
=
{
{
θ
(
1
)
,
θ
(
2
)
}
,
{
θ
(
3
)
}
}
=
{
{
3
,
2
}
,
{
1
}
}
=
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
{\displaystyle \theta (A)=\{\{\theta (1),\theta (2)\},\{\theta (3)\}\}=\{\{3,2\},\{1\}\}=\{\{1\},\{2,3\}\}}
Pr
(
Π
n
=
θ
(
A
)
)
=
0
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)=0}
Pr
(
Π
n
=
A
)
≠
Pr
(
Π
n
=
θ
(
A
)
)
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)\neq \Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)}
Π
3
{\displaystyle \Pi _{3}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
)
=
1
2
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
)
=
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
)
=
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
)
=
1
18
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)={\frac {1}{18}}}
Pr
(
Π
3
=
{
{
1
,
2
,
3
}
}
)
=
1
3
{\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}}
עריכה
עריכה
