ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
בפיזיקה , חלקיק חופשי הוא חלקיק הנע באופן חופשי ללא השפעת שום כוח (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).
בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות (מכניקה קלאסית , מכניקה קוונטית ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.
עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת
F
=
0
{\displaystyle F=0}
חוק השני של ניוטון , נותנת:
m
x
¨
=
0
{\displaystyle \ m{\ddot {x}}=0}
פתרון המשוואה על ידי אינטגרציה נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:
x
(
t
)
=
x
0
+
v
0
t
{\displaystyle \ x(t)=x_{0}+v_{0}t}
כאשר
x
0
,
v
0
{\displaystyle \ x_{0},v_{0}}
תנאי ההתחלה .
ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:
x
→
(
t
)
=
x
0
→
+
v
0
→
t
{\displaystyle \ {\vec {x}}(t)={\vec {x_{0}}}+{\vec {v_{0}}}t}
מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר .
הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
L
=
1
2
m
x
˙
2
{\displaystyle \ L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}}
עבור חלקיק רב-ממדי,
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
ממדי , ואז:
L
=
1
2
m
(
d
x
→
d
t
)
2
{\displaystyle \ L={\frac {1}{2}}m\left({\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right)^{2}}
מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות משוואות אוילר-לגראנז' .
ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
H
=
p
2
2
m
{\displaystyle \ H={\frac {p^{2}}{2m}}}
כאשר p הוא התנע של החלקיק.
במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר
i
ℏ
∂
ψ
(
x
→
)
∂
t
=
H
ψ
(
x
→
)
{\displaystyle \ i\hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}})}{\partial t}}=H\psi ({\vec {x}})}
כאשר
H
=
p
2
2
m
=
ℏ
2
k
2
2
m
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
{\displaystyle \ H={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}}
הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.
הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים
ψ
(
x
→
)
=
1
V
e
i
p
→
⋅
x
→
/
ℏ
=
1
V
e
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle \ \psi ({\vec {x}})={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}/\hbar }={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן
ℏ
ω
=
E
k
=
p
2
2
m
=
ℏ
2
k
2
2
m
{\displaystyle \ \hbar \omega =E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:
ψ
(
x
→
,
t
)
=
∫
ϕ
(
k
→
)
e
i
(
k
→
⋅
x
→
−
ω
t
)
d
k
→
{\displaystyle \left.\right.\psi ({\vec {x}},t)=\int \phi ({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)}d{\vec {k}}}
אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:
ψ
x
0
(
x
f
,
t
)
=
G
(
x
f
,
t
;
x
0
,
0
)
=
m
2
π
i
ℏ
t
exp
(
i
m
2
ℏ
t
(
x
f
−
x
0
)
2
)
{\displaystyle \ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=G(x_{f},t;x_{0},0)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\left({\frac {im}{2\hbar t}}(x_{f}-x_{0})^{2}\right)}}
