טבעות בורומאיות

בתורת הקשרים המתמטית, טבעות בורומאו הן שזר המורכב משלושה מעגלים טופולוגיים הכרוכים זה בזה באופן שהוצאת כל אחת מהטבעות משחררת את הקשר בין שתי האחרות. הטבעות קרויות על שם חלק משלט האצולה של בית בורומאו ממילאנו של המאה ה-15.

טבעות בורומאו

תכונות מתמטיות

למרות שהתמונה האופיינית של הטבעות (למעלה משמאל) מציגה שלוש טבעות גאומטריות קשיחות, אי אפשר לממש אותה בטבעות קשיחות, כפי שאפשר לראות מן הדיאגרמה של השזר: אם מעגלים 1 ו-2 נוגעים זה בזה בנקודות החיתוך המופיעות בציור, אז יש מישור יחיד או כדור יחיד העובר דרך שניהם. בשני המקרים המעגל השלישי אינו יכול לחתוך את המישור או את הכדור הזה ארבע פעמים בלי להיות מוכל בו, ובמקרה זה לא יוכל לעבור לפני ואחרי שתי הטבעות האחרות לסירוגין. אכן, טבעות בורומאו עגולות ממתכת דקה יהיו מוכרחות להתעקם.

לעומת זאת, אפשר לממש את השזר באמצעות אליפסות (ציור שלישי). את אלו אפשר לבחור עם אקסנצטריות קטנה ככל שנרצה, כך שהן קרובות ככל שנרצה למעגלים.

התרת השזר

ממבט ראשון נראה "מובן מאליו" שלא ניתן להתיר את שלוש הטבעות (כלומר, להרחיק אותן זו מזו, לאחר סדרה של עיוותים, בלי לאפשר לשתי מסילות לחצות זו את זו במרחב). עם זאת, ההוכחה המתמטית של עובדה זו אינה טריוויאלית, והיא דורשת כלים מתוחכמים מטופולוגיה אלגברית או מתורת הקשרים. הדרך הפשוטה ביותר היא להתבונן בחבורה היסודית של המרחב המשלים לשתי טבעות נפרדות, שהיא - לפי משפט סייפרט-ואן קמפן - חבורה חופשית על שני יוצרים a,b, ובה המסילה השלישית מתאימה לקומוטטור $\ aba^{-1}b^{-1}$ כפי שאפשר לראות מן הדיאגרמה (מעל הראשונה, מעל השנייה, מתחת לראשונה, מתחת לשנייה). הקומוטטור אינו טריוויאלי בחבורה, ולכן אי אפשר להתיר את הטבעת השלישית משתי האחרות.

דרך אחרת היא להבחין שהקוהומולוגיה של המשלים לשזר (בן שלוש הטבעות) תומכת במכפלת מסי לא טריוויאלית, שלא כמו הקוהומולוגיה של המשלים לשלוש טבעות שאינן כרוכות זו בזו. אכן, מכפלת מסי משולשת מוגדרת רק כאשר כל המכפלות הכפולות הן טריוויאליות, תנאי המתקיים כאשר כל שתי טבעות ניתנות להפרדה זו מזו.

שזר היפרבולי

טבעות בורומאו הן שזר היפרבולי: על המשלים שלהן בספירה התלת־ממדית אפשר להגדיר יריעה היפרבולית תלת-ממדית מנפח סופי. הפירוק הפאוני הקנוני של המשלים כולל שני אוקטאדרים אידיאליים (כלומר, כאלו שקודקודיהם באינסוף).

הקשר לצמות

הצמה הקלאסית בת שלושה גדילים מתאימה לטבעות בורומאו

שימוש בטבעות להסבר על השילוש הקדוש בכתב יד מהמאה ה-13

אם חותכים את טבעות בורומאו מקבלים איטרציה אחת של הצמה הקלאסית; ולהפך, אם קושרים את הקצוות של הצמה לאחר איטרציה אחת, מקבלים את טבעות בורומאו. בדיאגרמת הקשר הסטנדרטית, הטבעות מסודרות באופן לא טרנזיטיבי, בסדר של אבן נייר ומספריים: 1 מעל 2, 2 מעל 3, 3 מעל 1. לכן הסרת טבעת אחת משחררת את האחרות; ובאותו אופן גם הסרת גדיל אחד מהצמה מתיר אותה לחלוטין.

היסטוריה תרבותית

שמן של הטבעות נובע, כאמור, ממרכיב בשלט האצולה של משפחת בורומאו. הן הוענקו לאחד מראשי המשפחה במאה ה-15, פיליפו בורומאו, על ידי דוכס מילאנו פרנצ'סקו ספורצה והן מציינות את הקשר בין שלוש המשפחות החזקות במילאנו ויסקונטי, ספורצה ובורומאו, ה"איחוד הבלתי נפרד" (unione inscindibile).

אולם שימוש בטבעות כסמל נפוץ הרבה לפני כן. השימוש המקובל בימי הביניים היה לתיאור השילוש הקדוש. שימוש מופשט בטבעות קיים גם בסמלים שנמצאו חקוקים על אבנים מהתקופה הויקינגית.

הטבעות שימשו גם כסמליל של מפעל הפלדה והנשק הגרמני "קרופ", ובשנת 2022 נעשה שימוש בטבעות כחלק מהמשחק Elden Ring.

גלריה

• 
  דיאגרמה סטנדרטית של טבעות בורומאו
• 
  טבעות תלת-ממדיות המקרבות את הדיאגרמה הסטנדרטית
• 
  מימוש של הטבעות בתור אליפסות
• 
  סמל אבירים המראה מנעולים כרוכים זה בזה בתצורה של טבעות בורומאו
• 
  טבעות בורומאו ממתכת דקה
• 
  הטבעות על עטיפת המשחק Elden Ring

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טבעות בורומאיות בוויקישיתוף