מאפס

מאפס של תת-קבוצה באלגברה, ובמיוחד בתורת החוגים, הוא אוסף האיברים שמכפלתם באיברי הקבוצה היא אפס. למאפסים חשיבות מרכזית במיקום ובתורת ההצגות של אלגברות. איברים בעלי מאפס לא-טריוויאלי הם בדיוק מחלקי אפס.

הגדרות

יהי $R$ חוג ותהי $S\subseteq R$ תת-קבוצה כלשהי. המאפס (השמאלי) של $S$ ב-$R$ הוא: $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R|r\cdot s=0\ \forall s\in S\}$. ניתן להגדיר את המאפס הימני באופן דומה; כאשר יש צורך להבהיר האם מדובר במאפס ימני או שמאלי, מוסיפים את האות $l$ או $r$ לסימון המאפס. בהמשך הערך נדון במאפסים שמאליים, אם כי ניתן להגדיר ולהוכיח תכונות מתאימות למקרה של מאפסים ימניים.

תכונות

• המאפס של תת-קבוצה הוא אידיאל שמאלי, ומדובר באידיאל שמאלי אמיתי אם (ורק אם) תת-הקבוצה מכילה איבר שונה מאפס
• המאפס של אידיאל שמאלי הוא אידיאל דו-צדדי
• המאפס מונוטוני (הפוך) ביחס להכלה: אם $S\subseteq T$ תתי-קבוצות של חוג $R$ אז $\operatorname {Ann} _{R}(T)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}(S)$
• בכל חוג $R$ מתקיים $\operatorname {Ann} _{R}(S\cup T)=\operatorname {Ann} _{R}(S)\cap \operatorname {Ann} _{R}(T)$ לכל שתי תתי-קבוצות $S,T\subseteq R$
• תת-חוג של חוג פשוט ארטיני מקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים של תתי-קבוצות, כלומר כל שרשרת עולה של מאפסים של תתי-קבוצות - מתייצבת. ולהפך, משפט גולדי קובע כי חוג ראשוני למחצה בעל ממד אחיד סופי ומקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים משוכן בחוג פשוט ארטיני (למעשה, קובע המשפט כי חוגים אלו הם בדיוק אלו שחוג השברים הקלאסי שלהם הוא פשוט ארטיני)

דוגמות

• בתחום אין מחלקי אפס, ולכן אין מאפסים לא-טריוויאליים
• בחוג $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ המאפס של $m$ הוא האידיאל הנוצר על ידי ${\frac {n}{\operatorname {gcd} (n,m)}}$ (אכן, האיברים שאינם מחלקי אפס בחוג זה הם בדיוק האיברים ההפיכים, שהם המספרים הזרים ל-$n$)
• החוג: $F\times F\times \cdots \$ אינו מקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים

לקריאה נוספת

• Goldie, A.W. (1958). "The structure of prime rings under ascending chain conditions". Proc. London Math. Soc. 8 (4): 589–608.
• Goldie, A.W. (1960). "Semi-prime rings with maximal conditions". Proc. London Math. Soc. 10: 201–220.
• Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, Graduate Studies in Mathematics, Publication Year 2008: Volume 91