מבחן M של ויירשטראס

מושג במתמטיקה

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K, וקיימת סדרה של קבועים , כך שהטור מתכנס ולכל n מתקיים לכל , אז טור הפונקציות , מתכנס במידה שווה על K.

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחהעריכה

לכל   קבוע הטור המספרי   מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב   ואת הסכום החלקי עד   ב-  

  מתכנס אז לכל   קיים   כך ש   לכל  .

מתקיים:
  לכל  .
ולכן   מתכנס במידה שווה לכל  .


דוגמאותעריכה

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M.

  • הטור   מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי  , והטור   ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם   מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
  • עבור הטור   מבחן ה-M לא עוזר, שכן לכל x ממשי -  , אבל   לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן הM לא נכון.
  • כידוע, הטור   מתכנס לכל  . לפי מבחן ה-M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע  , כי  . עם זאת, לכל   ניתן להשתמש במבחן ה-M - אז יתקיים   לכל  , והטור הממשי   מתכנס.

קישורים חיצונייםעריכה