מומנט התמד פולרי של השטח

מומנט התמד (אינרציה) פולרי של השטח (באנגלית: Polar (Area) Moment of Inertia) הוא תכונה של השטח המגדירה יחד עם תכונות החומר (מודול הגזירה) את הקשיחות לפיתול.

תרשים הסבר לפיתוח מושג מומנט ההתמד הפולרי של השטח

הגדרה מתמטית

$J=\int \rho ^{2}dA$

• J - מומנט ההתמד הפולרי של השטח
• dA - יחידת שטח קטנה
• $\rho$ -המרחק (הרדיוס) מראשית הצירים ליחידת השטח

בין מומנטי ההתמד של השטח סביב הצירים X,Y לבין מומנט ההתמד הפולרי של השטח, מתקיים הקשר:

$I_{xx}+I_{yy}=\int x^{2}dA+\int y^{2}dA=\int (x^{2}+y^{2})dA=\int \rho ^{2}dA=J$

ובקיצור:

$J=\ I_{xx}+I_{yy}$

הסכום של מומנט ההתמד של השטח סביב ציר X ומומנט ההתמד של השטח סביב ציר Y שווה למומנט ההתמד הפולרי והוא ערך קבוע לשטח.

• $I_{xx}$ - מומנט ההתמד של השטח סביב ציר X
• $I_{yy}$ - מומנט ההתמד של השטח סביב ציר Y

מומנט התמד (אינרציה) פולרי בחתך עגול

חתך עגול חלול

תרשים הסבר להצגת מושג הצירים הראשיים

מומנט האינרציה הפולרי J למוט עגול בקוטר d:

$J={\frac {\pi d^{4}}{32}}$

ובמוט עגול חלול:

$J={\frac {\pi (d^{4}-d_{i}^{4})}{32}}$

• d - קוטר חיצוני
• $d_{i}$ - קוטר פנימי

אם מחלקים את מומנט האינרציה הפולרי ברדיוס מקבלים את $Z_{p}$ מומנט ההתנגדות הפולרי אותו ניתן למצוא בלוחות טכניים.

לחתכים שונים:

${\mathbb {Z} _{p}}={\frac {J}{r}}$

• r - רדיוס המוט
• $Z_{p}$ - מומנט ההתנגדות הפולרי של השטח אותו ניתן למצוא בלוחות טכניים.

צירים ראשיים

צירים ראשיים הם זוג צירים ניצבים זה לזה סביבם מומנט האינרציה של השטח הוא מקסימלי סביב האחד ומינימלי סביב השני הניצב לו. הזווית :$\alpha$ נמדדת מציר ה - X אל הציר הראשי סביבו מומנט ההתמד של השטח הוא מקסימלי:

$\tan(2\alpha )={\frac {2I_{xy}}{I_{yy}-I_{xx}}}$

$I_{xy}=\int xydA$

• $I_{xx}$ - מומנט ההתמד של השטח סביב ציר X
• $I_{yy}$ - מומנט ההתמד של השטח סביב ציר y

ראו גם

• מאמץ פיתול
• מומנט התמד פולרי מנורמל

לקריאה נוספת

• Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hall InternationalInc, London, 1970. ISBN 0-13-279216-8
• McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill, 1983. ISBN 0-07-0454868
• Mechanical Engineering Design, Joseph E. Shigley, Larry D. Mitchell, 4th Edition 1983. ISBN 0-07-056888-x

קישורים חיצוניים

• הגדרות מומנטי ההתמד של השטח (באנגלית)
• פיתול, באתר Answers.com (באנגלית)
• הסבר מקיף על מומנטי ההתמד של השטח (באנגלית)