מונה על-קומפקטי

ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.

אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול.

הגדרה ותכונות מרכזיותעריכה

מונה   נקרא  -על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי  , כש-  מחלקה טרנזיטיבית של  , כך ש-  ,   ו- . מונה על-קומפקטי הוא מונה   שהוא  -על-קומפקטי לכל  .

קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור  ,   הוא  -על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה  . מידה כזו היא על-מסנן   על   המקיים:

  1.   הוא  -שלם: כלומר,   סגור לחיתוך של פחות מ-  קבוצות.
  2.   עדין: כלומר, לכל  , הקבוצה   שייכת ל- .
  3.   נורמלי: כלומר   עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה  , אם   אז קיימת קבוצה   עליה   קבועה.

שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי   המעיד על כך ש-  הוא  -על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על   באופן הבא:  . מנגד, אם   מידה עדינה ונורמלית על  , אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש-  הוא  -על-קומפקטי.

אם   מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו   על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית).

למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי  , אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי   הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת).

הקשר למונים קומפקטיים-חזקיםעריכה

כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי.

השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון.

אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים.

כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.