מטריצה אלמנטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי פעולת שורה אלמנטרית אחת. המטריצות האלמנטריות יוצרות את החבורה הליניארית הכללית של מטריצות הפיכות. הכפלה משמאל במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת שורה אלמנטרית, בעוד הכפלה מימין במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת עמודה אלמנטרית.

בדרך זו, ביצוע פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה ריבועית שרירותית A שקול למעשה לכפל במטריצה אלמנטרית מסוימת - מטריצה המתקבלת ממטריצת הזהות על ידי פעולה שורה אלמנטרית זהה לזו שאנו רוצים לבצע על המטריצה המקורית A. כל מטריצה הפיכה ניתן להמיר במכפלה של מטריצות אלמנטריות.

פעולות שורה אלמנטריות

ישנם שלושה סוגים של מטריצות אלמנטריות, אשר מתאימים לשלושה סוגים של פעולות שורה אלמנטריות:

החלפת שורה

שורה במטריצה ניתנת להחלפה עם שורה אחרת.

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

הכפלת שורה בסקלר

כל איבר בשורה ניתן להכפלה בסקלר זהה שונה מאפס.

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$

הוספת שורה לשורה אחרת

שורה ניתנת להחלפה בסכום של שורה וכפולה של שורה אחרת.

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j$

אם E היא מטריצה אלמנטרית, כפי שתואר לעיל, אז כדי להפעיל פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה A, יש להכפיל את A במטריצה האלמנטרית משמאל, כלומר למצוא את E⋅A. בעבור כל פעולת שורה, המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהפעלת הפעולה על מטריצת היחידה.

החלפת שורות

הסוג הראשון של פעולות שורה על מטריצה A מחליף את כל איברי השורה ה-i עם האיברים התואמים להם בשורה ה-j. המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהחלפת שורה i ו-j במטריצת היחידה.

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

כך ש-T_ij⋅A היא המטריצה המתקבלת מהחלפת שורות i ו-j של A.

תכונות

• המטריצה ההופכית למטריצה זו היא עצמה: T_ij⁻¹=T_ij.
• כיוון שהדטרמיננטה של מטריצת היחידה היא אחת, det[T_ij] = −1. זה נובע מכך שבעבור כל מטריצה ריבועית A, מתקיים [det[T_ijA] = −det[A.

הכפלת שורה בסקלר

הסוג הבא של פעולת שורה על מטריצה A מכפיל את כל איברי השורה ה-i ב-m, כאשר m הוא סקלר שונה מאפס. המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצה אלכסונית, אשר איברי האלכסון שלה הם 1 בכל מקום למעט במיקום ה-i, שם הוא m.

$D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

כך ש-D_i(m)⋅A היא המטריצה המתקבלת מ-A על ידי הכפלת שורה i ב-m.

תכונות

• המטריצה ההופכית למטריצה הזאת היא: (D_i(m)⁻¹ = D_i(1/m. שתיהן כמובן מטריצות אלכסוניות.
• det[D_i(m)] = m. לפיכך בעבור מטריצה ריבועית A מקבלים [det[D_i(m)A] = m det[A.

הוספת שורה לשורה אחרת

הסוג האחרון של פעולת שורה על מטריצה A הוא הוספת השורה ה-i מוכפלת בסקלר m לשורה ה-j. המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצת היחידה אולם עם m במיקום (j,i).

$L_{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}$

תכונות

• הטרנספורמציות הללו הן סוג של העתקת גזירה (shear mapping).
• (L_ij(m)⁻¹ = L_ij(−m.
• det[L_ij(m)] = 1. לכן, בעבור מטריצה ריבועית A, מקבלים [det[L_ij(m)A] = det[A.

ראו גם

• דירוג מטריצות