מטריצת ונדרמונד

באלגברה ליניארית, מטריצת ונדרמונד (על שם אלכסנדר ונדרמונד) היא מטריצה מסדר $n\times m$ כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן:

$$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}$$

אם המטריצה ריבועית ($m=n$), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונד, מבוטאת על ידי הביטוי: $\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$.

מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את מקדמי הפולינום $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}$ לערכים שהפולינום מקבל בנקודות $\alpha _{i}$. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.

דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה $\alpha _{i}$ נבחרים להיות שורשי היחידה:

$W={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\cdots &\omega ^{3(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\omega ^{3(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\\\end{bmatrix}}$, כאשר $\omega =e^{-{\frac {2\pi i}{N}}}$.

קישורים חיצוניים

• מטריצת ונדרמונד, באתר MathWorld (באנגלית)

• כיצד לחשב את דטרמיננטת ונדרמונד באתר ProofWiki

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.