ויקיפדיה

משוואת ריילי-פלסט – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
החלפתי את הפיתוח הקודם בפיתוח הנקי של ריילי פלסט. הסיבה היא שהפיתוח הקודם הכיל והשתמש באותם העקרונות הפיזיקאליים אבל נכתב בצורה קצת מסורבלת. כמו כן, אני חושד שהתיאור של הלחץ על הבועה כולל שגיאות הן בטרמינולוגיה והן בפיתוח עצמו. אם רוצים לפתח את משוואת ריילי פלסט המלאה צריך להשתמש בפיתוח דומה לזה שנעשה בויקיפדיה באנגלית (שהוא זהה לפיתוח שמופיע בספר של Brennen)
שורה 1:
ב[[מכניקת הזורמים]], '''משוואת ריילי-פלסט''' (לחלופין, משוואת '''בסנט-ריילי-פלסט''') היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] לא לינארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם [[מודול הנפח|אי-דחיס]]<ref name=":1" /><ref name=":2">{{צ-מאמר|מחבר=Lord Rayleigh|שם=VIII. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity|כתב עת=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|כרך=34|שנת הוצאה=1917-08|עמ=94–98|doi=10.1080/14786440808635681|קישור=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14786440808635681}}</ref><ref>{{צ-מאמר|מחבר=M. S. Plesset|שם=The Dynamics of Cavitation Bubbles|כתב עת=Journal of Applied Mechanics|כרך=16|שנת הוצאה=1949-09|עמ=277–282|קישור=https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140808-114249321}}</ref><ref name=":0" />:{{משוואה|משוואה=<math> R\frac{d^2R}{dt^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2 + \frac{4\nu_L}{R}\frac{dR}{dt} + \frac{2\sigma}{\rho_LR} + \frac{\Delta P(t)}{\rho_L} =0 </math>|הזחה|כותרת|משוואה|הפניה|ריווח תא|מסגרת|צבע מסגרת|צבע רקע}}כאשר:
: <math>\rho_L </math> היא [[צפיפות החומר|צפיפות]] הנוזל,
: <math>R(t)</math> הוא רדיוס הבועה,
שורה 21:
כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי [[ג'ון ויליאם סטראט ריילי|לורד ריילי]] ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות [[חוק בויל]]{{הערה|ריילי הניח שבהכרח מצוי בחלל אדים (למשל, אדי מים), גם אם צפיפותם מזערית.}}, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של <math>4^{1/3}</math>, אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של [[מתח פנים]] במשוואה.
 
== פיתוח לפי שימור מסה ואנרגיה ==
== גזירת המשוואה עבור צמיגות זניחה ==
לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של שימור אנרגיה ומסה<ref name=":2" />. נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן <math> R(t) </math> המצויה בתוך נוזל בעל צפיפות קבועה <math>\rho_L</math>. יהי <math> P_\infty </math> הלחץ רחוק מהבועה.
[[קובץ:Rayleigh-Plesset numerical solution for bubble in sine-wave pressure 01.jpg|ממוזער|left|אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידלי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.]]
 
==== שימור המסהמסה ====▼
[[קובץ:Rayleigh-Plesset numerical solution for bubble in step-like pressure.jpg|ממוזער|left|אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של נפילת לחץ פתאומית. כשהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, הבועה הנתונה לנפילת לחץ מתפשטת, ולאחר מכן קורסת.]]
אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של נפח הנוזל. תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: <math>R^2dR=r^2dr</math> ומכאן ניתן להסיק כי <math>u(r,t)=\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^2\dot{R}=\frac{R^2 \dot{R}}{r^2}</math>
 
=== שימור אנרגיה ===
משוואת ריילי-פלסט ניתנת לגזירה מעקרונות ראשוניים בעזרת רדיוס הבועה כמשתנה הדינמי. נתייחס לבועה כדורית עם רדיוס משתנה בזמן <math> R(t) </math>. נניח שהבועה מכילה גז/אדים המפולגים בבועה טמפרטורה <math> T_B(t) </math> ולחץ <math> P_B(t) </math> אחידים. מסביב לבועה מצוי תחום אינסופי נוזל עם צפיפות קבועה <math> \rho_L </math> וצמיגות <math> \mu_L </math>. יהיו הטמפרטורה והלחץ רחוק מהבועה <math> T_\infty </math> ו-<math> P_\infty(t) </math>. נניח שהטמפרטורה <math> T_\infty </math> היא קבועה. במרחק רדיאלי <math> r </math> ממרכז הבועה, תכונות הנוזל המשתנות בזמן הן הלחץ <math> P(r,t) </math>, הטמפרטורה <math> T(r,t) </math>, והמהירות הרדיאלית החוצה <math> u(r,t) </math>. שימו לב שתכונות הנוזל הללו מוגדרות רק מסביב לבועה, בעבור <math> r \ge R(t) </math>.
[[משפט עבודה-אנרגיה]] קובע כי:
 
<math>W=\Delta E_{kin}</math>
את משוואת ריילי-פלסט נגזור בשני שלבים:
* תחילה נניח שהלחץ בתוך הבועה שווה ללחץ הנוזל פחות הלחץ הקפילרי, כך שהפרש הלחצים מתאפס והדינמיקה של הבועה נשלטת על ידי שימור האנרגיה הקינטית של הזורם בכל המרחב.
* לאחר מכן נקבע [[תנאי שפה]] מתאימים ונראה שכאשר [[לחץ אדים|לחץ האדים]] בתוך הבועה גדול יותר מהפרש לחץ הנוזל מחוץ לבועה והלחץ הקפילרי, אז הנגזרת לפי הזמן של סך האנרגיה הקינטית יחסית להפרש הלחצים.
 
בעזרת הקשר בין המהירות הרדיאלית של הנוזל בכל רדיוס ''r'' לקצב הגידול של הבועה <math>\frac{dR}{dt}</math> ניתן לקבוע, באמצעות אינטגרל על כל המרחב, את סך האנרגיה הקינטית של הזורם:<math>E_{kkin} = \frac{1}{2} \int_R^{\infty} 4\pi \rho_L r^2 u^2(r,t)dr = \int_R^{\infty} 2\pi \rho_L R^4 \Bigl(\frac{\frac{dR}{dt}}{r}\Bigr)^2dr = 2\pi\rho_L\Bigl(\frac{dR}{dt}\Bigr)^2 R^3</math>▼
=== שלב ראשון ===
▲==== שימור המסה ====
משימור המסה, חוק היפוך הריבוע דורש שהמהירות הרדיאלית החוצה <math> u(r,t) </math> חייבת להיות יחסית הפוכה לריבוע המרחק מהראשית (מרכז הבועה). לפיכך:
 
העבודה שנוצרת ע"י לחץ חיצוני <math>P_\infty(t)</math> היא:
:<math> u(r,t) = \frac{R^2}{r^2}u(R,t)= \frac{R^2}{r^2}\frac{dR}{dt} </math>▼
 
<math>W=\frac{4\pi}{3}(R_0^3 - R^3)P_\infty(t) </math>
==== קביעת האנרגיה הקינטית בכל המרחב ====
▲בעזרת הקשר בין המהירות הרדיאלית של הנוזל בכל רדיוס ''r'' לקצב הגידול של הבועה <math>\frac{dR}{dt}</math> ניתן לקבוע, באמצעות אינטגרל על כל המרחב, את סך האנרגיה הקינטית של הזורם:<math>E_{k} = \frac{1}{2} \int_R^{\infty} 4\pi \rho_L r^2 u^2(r,t)dr = \int_R^{\infty} 2\pi \rho_L R^4 (\frac{\frac{dR}{dt}}{r})^2dr = 2\pi\rho_L(\frac{dR}{dt})^2 R^3</math>
 
השוואת שני הגורמים נותרת
נשים לב שמכיוון שבהיעדר הפרש לחצים האנרגיה הקינטית הכוללת נשמרת, הגדלת רדיוס הבועה ''R'' חייבת להיות מלווה בהאטת קצב גידול הבועה <math>\frac{dR}{dt}</math> על מנת לשמר את המכפלה בביטוי לאנרגיה קינטית קבועה.
 
▲:<math> u(r,t) = \frac{R^2}{r^23}u(R_0^3 - R,^3)P_\infty(t)= \frac{R^2}{r^2}rho_L\Bigl(\frac{dR}{dt}\Bigr)^2 R^3 </math>
=== שלב שני ===
כאשר הבועה תופחת בשיעור אינפיניטסימלי <math> dV </math>, היא מבצעת עבודה חיובית על הנוזל שיחסית לשינוי הנפח שלה וללחץ <math> P_R(t) </math> במשטח החיצוני של הממשק נוזל-בועה. מצד שני, לפי עקרון הרציפות (שימור המסה), גם "באינסוף" הנוזל תופח בקליפה כדורית בעלת נפח <math> dV </math> (על מנת לשמר את סך נפח הנוזל; שכן הנחנו אי-דחיסות), ולפיכך מתבצעת על הנוזל עבודה שלילית <math> -P_{\infty} dV </math>. לפיכך הנגזרת של הביטוי לסך האנרגיה הקינטית הכוללת בכל המרחב מקיימת:
 
<math>\frac{d(2\pi\rho_L(\frac{dR}{dt})^2 R^3)}{dt} = (P_R(t)- P_{\infty})\frac{dV}{dt} = (P_R(t)- P_{\infty})\cdot 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} </math>
 
הלחץ בחלקו החיצוני של הממשק נוזל-בועה שווה ללחץ הקפילרי ועוד לחץ האדים בתוך הבועה (נשים לב שכאן מתקבל מצב הפוך מזה של טיפת מים נוזליים, שם הלחץ בתוך הטיפה גדול מהלחץ החיצוני; הסיבה לכך היא שהלחץ הקפילרי פועל תמיד לכיוון הפאזה הנוזלית, כך שבמקרה של בועה הוא פועל כלפי חוץ):
 
<math> P_R = P_{vapour}+\frac{2\sigma}{R} </math>
 
קיבלנו איפה
 
<math>\frac{d(2\pi\rho_L(\frac{dR}{dt})^2 R^3)}{dt} = -(\Delta P(t)+\frac{2\sigma}{R})\cdot 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} </math>
 
לאחר פיתוח הנגזרת של אגף שמאל בהתאם ל[[כלל לייבניץ|כלל המכפלה לנגזרות]] וצמצום איברים בשני האגפים, מקבלים את משוואת ריילי-פלסט במקרה של צמיגות זניחה:
 
: <math> \frac{P_B(t) - P_\infty(t)}{\rho_L} = R\frac{d^2R}{dt^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2 + \frac{2\sigma }{\rho_LR} </math>
 
מגזירה בזמן נקבל:{{משוואה|משוואה=<math> R\frac{d^2R}{dt^2} + \frac{3}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2 + \frac{P_\infty(t)}{\rho_L} =0 </math>|הזחה|כותרת|משוואה|הפניה|ריווח תא|מסגרת|צבע מסגרת|צבע רקע}}
== פתרונות ==
פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Nikolay A Kudryashov, Dmitry I Sinelshchikov|שם=Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble|כתב עת=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|כרך=47|שנת הוצאה=2014-10-10|עמ=405202|doi=10.1088/1751-8113/47/40/405202|קישור=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/47/40/405202}}</ref>, והוכללו ל-''N'' ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים [[קובץ:Rayleigh-Plesset numerical solution for bubble in sine-wave pressure 01.jpg|ממוזער|left|אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידלי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.]]חשוב נחקרו לעומק גם כן<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Nikolai A. Kudryashov, Dmitry I. Sinelshchikov|שם=Analytical solutions for problems of bubble dynamics|כתב עת=Physics Letters A|כרך=379|שנת הוצאה=2015-04-03|עמ=798–802|doi=10.1016/j.physleta.2014.12.049|קישור=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960114012900}}</ref><ref>{{צ-מאמר|מחבר=S. C. Mancas, H. C. Rosu|שם=Evolution of spherical cavitation bubbles: parametric and closed-form solutions|כתב עת=Physics of Fluids|כרך=28|שנת הוצאה=2016-02-01|עמ=022009|doi=10.1063/1.4942237|קישור=http://arxiv.org/abs/1508.01157}}</ref>.
 
בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים<ref>{{צ-מאמר|מחבר=D. Obreschkow, M. Bruderer, M. Farhat|שם=Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble|כתב עת=Physical Review E|כרך=85|שנת הוצאה=2012-06-05|doi=10.1103/PhysRevE.85.066303|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.85.066303}}</ref>.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משוואת_ריילי-פלסט"