שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

'''שדה''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שעליהלא ריקה של איברים (מספרים) עליהם מוגדרות פעולות פועלים [[חיבור]], [[חיסור]], [[כפל]], ו[[חילוק]] המתנהגיםבעלות כמותכונות הפעולותהדומות המתאימותלאלו של אותן ארבע פעולות על [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]]. על(פרוט כן, שדה הואבהמשך). [[מבנהשדה אלגבריסופי]] בסיסיהוא אשרשדה נעשההמוגדר בועל שימושקבוצה נרחבסופית ב[[אלגברה]]של (במיוחדאברים, ב[[אלגברהושדה מופשטת]]),אינסופי [[תורתהוא המספרים]],שדה ותחומיםהמוגדר רביםעל אחריםקבוצה במתמטיקהאינ סופית של אברים,.

השדות הידועים ביותר הם שדות אינסופיים: שדה [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], שדה [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] ושדה [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]]. שדות רבים אחרים, כגון [[שדה שברים|שדות של פונקציות רציונליות]], [[שדה מספרים|שדות מספרים]] ו[[מספר p-אדי|שדות p-אדיים]], נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים וב[[גאומטריה אלגברית]]. רוב [[פרוטוקול קריפטוגרפי|הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים]] נשעניםמשתמשים בפעולות על [[שדה סופי|שדות סופיים]], כלומר שדות עם מספר סופי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]].

הקשרשדה ביןאחד שני שדות מתבטא ברעיון שלהוא [[הרחבת שדות|הרחבה של שדה]] אחר אם קבוצת אבריו מכילה ממש את קבוצת אברי השדה האחר, ושומרת על פעולות הכפל והחיבור שלו. [[תורת גלואה]], אותה התחיל [[אווריסט גלואה]] במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]]) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן [[שילוש זווית|לשלש זווית]] או [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם#תרבוע העיגול|לתרבע מעגל]] באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. יתרה מזאת, היא מראה כי [[משוואה ממעלה חמישית|משוואות ממעלה חמישית]] אינן ניתנות לפתרון אלגברי.

באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה יחדשעליה עםמוגדרות שתי [[פעולה בינארית|פעולות]] שהוגדרו עליה – פעולת חיבור הנכתבת על ידי <math>a+b</math> ופעולת כפל הנכתבת על ידי <math>a \cdot b</math>. כאשרהחיבור שניהםוהכפל מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל אצלשל [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]]. במיוחד, כוללמובטח קיומו של [[מספר נגדי]] <math>-a</math> לכל מספר <math>a</math>, ושל [[מספר הופכי]] <math>b^{-1}</math> לכל מספר <math>b</math> שונההשונה מאפס. זה מאפשר לשקול גםלהגדיר את מה שנקרא פעולותהפעולות ה"הפוכות" של [[חיסור]], <math>a-b</math> [[חילוק|וחלוקה]], <math>\frac{a}{b} </math>, על ידיבאופן הגדרתהבא:

שדה <math>F</math> זו קבוצה לא ריקה שעל אבריה מוגדרות שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] הנקראות [[חיבור]] ו[[כפל]]. תוצאת החיבור של <math>a, b</math> מסומנת <math>a+b</math> ותוצאת הכפל מסומנת <math>a \cdot b</math>, או בקיצור <math>ab</math>. הפעולות הללו חייבות לקיים את ה[[אקסיומה|אקסיומות]] הבאות לכל <math>a, b, c</math> ב-<math>F</math>:

כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר אברי השדה עם פעולת החיבור זו [[חבורה אבלית]], אברי השדה שאינם כוללים את 0 (האבר הנייטראליהנייטרלי של החיבור) עם פעולת הכפל מהווים חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות של הכפל מעל החיבור. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא [[חוג קומוטטיבי]] שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך (או במילים אחרות, [[חוג חילוק]] קומוטטיבי).{{הערה|[[#Oger|אהוד דה-שליט, 2018]], עמ' 140}}