כפל – הבדלי גרסאות

כפל של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] הוא למעשה פעולת [[חיבור]] חוזרת: "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים. לדוגמאלדוגמה, 4 כפול 3 הוא הסכום <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12\!\,</math>. ב[[מערכת פאנו]] המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר ב[[אינדוקציה]] בעזרת פעולת החיבור: <math>\ a\cdot 1 = a</math>, ו- <math>\ a \cdot (b+1) = a\cdot b + a</math>.

במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו [[חבורה למחצה]], [[מונויד]] או [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". אכן, כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסויימותמסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.

כפל סדרתי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] מסומן בסימן המכפלה, שהוא האות Π (פאי) גדולה ב[[אלפבית]] ה[[יוונית|יווני]]: <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}. </math>. הציון התחתי (במקרה זה, האות ''i'') מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (''m''), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (''n''). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים <math>\ x_i</math> עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמאלדוגמה, <math> \prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}. </math>. במקרה ש-''m'' = ''n'', התוצאה של המכפלה היא ''x''_''m''. אם ''m'' > ''n'', זוהי [[מכפלה ריקה]], ומוסכם שערכה 1.