הבדלים בין גרסאות בדף "כפל"

הוסרו 2 בתים ,  לפני 10 שנים
מ
בוט החלפות: דוגמה; מסוים;
מ (בוט החלפות: דוגמה; מסוים;)
 
[[תמונה:Three by Four.svg|ממוזער|שמאל|3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.]]
כפל של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] הוא למעשה פעולת [[חיבור]] חוזרת: "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים. לדוגמאלדוגמה, 4 כפול 3 הוא הסכום <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12\!\,</math>. ב[[מערכת פאנו]] המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר ב[[אינדוקציה]] בעזרת פעולת החיבור: <math>\ a\cdot 1 = a</math>, ו- <math>\ a \cdot (b+1) = a\cdot b + a</math>.
 
את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל ל[[מערכת מספרים|מערכות מספרים]] גדולות יותר: ב[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] הכפל של השברים <math>\ \frac{a}{b}</math> ו- <math>\ \frac{c}{d}</math> הוא השבר <math>\ \frac{a\cdot c}{b \cdot d}</math>. ב[[שדה המספרים המרוכבים|מספרים המרוכבים]] הכפל נובע מן ה[[דיסטריבוטיביות]] ביחס לחיבור ומההנחה ש-<math>\ i\cdot i = -1</math>: <math>\ (a+bi)\cdot (c+di) = (a\cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i</math>.
 
במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו [[חבורה למחצה]], [[מונויד]] או [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". אכן, כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסויימותמסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.
 
ה[[שטח]] של [[מלבן]] מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב. באותו אופן אפשר להגדיר גם [[נפח]] של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.
==הסימון לכפל גורמים רבים==
 
כפל סדרתי של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] מסומן בסימן המכפלה, שהוא האות Π (פאי) גדולה ב[[אלפבית]] ה[[יוונית|יווני]]: <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}. </math>. הציון התחתי (במקרה זה, האות ''i'') מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (''m''), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (''n''). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים <math>\ x_i</math> עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמאלדוגמה, <math> \prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}. </math>. במקרה ש-''m'' = ''n'', התוצאה של המכפלה היא ''x''<sub>''m''</sub>. אם ''m'' > ''n'', זוהי [[מכפלה ריקה]], ומוסכם שערכה 1.
 
בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר ''n'' [[שואף לאינסוף]]. כלומר, <math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}. </math>.
271,876

עריכות