פונקציית בסיס 13 של קונוויי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←על: מיותר |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
פונקציית הבסיס-13 של קונווי היא פונקציה <math>f: (0,1) \to \mathbb{R} </math> המוגדרת לכל <math> x \in (0,1) </math> כך:
* רושמים את x ב[[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] 13 בעזרת ה[[ספרה|ספרות]] <math>\ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,S^+,S^-,D</math>, כאשר <math>\ S^+,S^-,D</math> הם הספרות המייצגות את 10,11,12 ה[[בסיס עשרוני|עשרוניים]] בהתאמה (ונמנעים מחזרה אינסופית על הספרה D בדומה לבסיס עשרוני בו נמנעים מהייצוג [[0.999...]] למספר 1).
* אם הייצוג של x בבסיס 13 הוא מהצורה <math>0.\ldots S^\pm a_1 a_2 \ldots a_n D b_1 b_2
**<math>f(x) = \pm a_1 a_2 \ldots a_n . b_1 b_2
* לכל x אחר, <math>\ f(x) = 0 </math>.
הבחירה בבסיס 13 נעשתה מטעמי נוחות, כדי שהתוצאה הסופית תתקבל בבסיס עשרוני. ניתן באותה מידה להשתמש גם בבסיסים אחרים ולקבל פונקציה בעלת תכונות דומות.
שורה 22:
יהי <math>\ [c,d] \subseteq (0,1)</math>, ויהי <math> r \in \mathbb{R} </math>. נוכיח כי קיים <math>\ c<e<d</math> כך ש-<math>\ f(e)=r</math>. נייצג את c,d בבסיס 13 ואת r בבסיס עשרוני:
:<math>\ r=\pm A_1A_2 \ldots A_n .
כאשר <math>\ X_i</math> הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של c ו-d (אם ישנם כאלו). נשים לב כי קיים N כך ש-<math>\ C_N\ne D</math> (כי נמנעו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על D). עתה נבנה את <math>\ e</math>:
:<math>\ e=0.X_1X_2 \ldots X_mC_1C_2 \ldots C_{N-1}D S^\pm A_1 A_2 \ldots A_n D B_1 B_2
e קטן מ-d כי הייצוג שלו זהה לשל d עד הנקודה בה מתקיים <math>\ D_1>C_1</math> (מכיוון ש-d>c). וכן e גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים <math>\ C_N< D</math>.
נחשב את התמונה של e:
:<math>\ f(e)=\pm A_1A_2 \ldots A_n .
על כן תמונת כל קטע המוכל בתחום של הפונקציה הוא כל הישר.
| |||