משפט ליוביל (קירוב דיופנטי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יצירת דף עם התוכן "באנליזה דיופנטית, '''משפט ליוביל''' הוא ההוכחה הראשונה לקיומם של [[מספר טרנסצנדנטי|מספרי..." |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה דיופנטית]], '''משפט ליוביל''' הוא ה[[הוכחה]] הראשונה לקיומם של [[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]]. המשפט קובע כי כל [[מספר אלגברי]] [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] מדרגה n (מעלת ה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] שלו) אינו ניתן ל[[קירוב דיופנטי]] מסדר n. מכיוון שקיימים מספרים, הנקראים [[מספר ליוביל|מספרי ליוביל]], הניתנים לקירוב מכל סדר שהוא, הם בהכרח טרנסצנדנטיים.
את המשפט הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] בשנת [[1844]].
==הגדרות==
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו אלגברי, כלומר אינו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של אף [[פולינום]] במקדמים [[מספר שלם|מספרים שלמים]] (השקול לדרישה כי המקדמים יהיו [[מספר רציונלי|רציונליים]]).
מספר ליוביל הוא [[מספר ממשי]] <math>\ \alpha</math> המקיים שלכל n קיימים p ו-q>1 שלמים כך שמתקיים:
:<math>\ 0< \left |\alpha- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} </math>
דוגמה למספר שכזה תנתן בהמשך. קל לראות כי כל מספר ליוביל הוא אי-רציונלי. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\ \frac{a}{b}</math> מספר ליוביל רציונלי. אז נבחר n כך ש-<math>\ 2^n>b</math> ונזכור כי <math>\ q\ge 2</math> ולכן:
:<math>\ \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{aq-bp}{bq} \right|\ge \frac{1}{bq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}</math>
בסתירה להגדרה.
| |||