משפט קיילי-המילטון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ [r2.6.5] בוט מוסיף: sh:Cayley-Hamiltonov teorem |
הרחבה |
||
שורה 1:
'''משפט קיילי-המילטון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[אלגברה לינארית]], הקובע שכל [[מטריצה ריבועית]] A (מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) מאפסת את ה[[פולינום אופייני|פולינום האופייני]] שלה <math>\ f(\lambda) = |\lambda I - A|</math>, כלומר, מתקיים <math>\ f(A) = 0</math>. בפרט, ה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.
המשפט קרוי על שמם של ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] [[ארתור קיילי]] ו[[ויליאם המילטון]]. במאמר מ-[[1858]] הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל <math>\ 2\times 2</math>, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל <math>\ 3\times 3</math>; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על [[אלגברת הקווטרניונים]]. את המקרה הכללי הוכיח [[פרדיננד גאורג פרובניוס]], ב- [[1878]].
המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מ[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג קומוטטיבי|קומוטטיבי]] כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות <math>\ \operatorname{M}_n(C)</math> הם [[חוג עם זהויות|חוגי זהויות פולינומיות]].
== שימושים ==
פתרון פולינום של מטריצה: כדי להציב מטריצה A בפולינום <math>G(A)</math>, מפרקים אותו באמצעות חילוק אלגבראי בפולינום האופייני לצורה <math>F(A)*S(A)+R(A)</math>, כאשר <math>F(A)</math> הוא הפולינום האופייני של המטריצה, <math>S(A)</math> הוא תוצאת החילוק, ו- <math>R(A)</math>
הוא השארית. מכיוון שהצבה של A ב <math>F(A)</math> נותנת 0, הפולינום שווה ל-<math>R(A)</math>. לכן, במקום להציב את A ב- <math>G(A)</math>, ניתן להציב את A ב- <math>R(A)</math>, שהוא ממעלה יותר נמוכה.
== מקורות ==
| |||