משפט לינדמן-ויירשטראס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יצירת דף עם התוכן "במתמטיקה, '''משפט לינדמן-ויירשטראס''' הוא משפט (מתמטיקה) מרכזי בחקר ה[[מספר טרנסצנדנטי|מ..." |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''משפט לינדמן-ויירשטראס''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מרכזי בחקר ה[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים הטרנסצנדנטיים]]. המשפט קובע כי אם <math>\ \alpha_1,\ldots, \alpha_n</math> [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] [[תלות לינארית|בלתי תלויים לינארית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>, אז <math>\ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}</math> [[אי תלות אלגברית|בלתי תלויים אלגברית]] מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>. בפרט, <math>\ e^\alpha</math> טרנסצנדנטי לכל <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאפס (e הוא [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]]).
==היסטוריה==
בשנת [[1761]] [[השערה (מתמטיקה)|שיער]] [[יוהאן היינריך למברט]] (שהוכיח לראשונה את ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליות]] של π) כי [[פאי|π]] ו-e הם מספרים טרנסצנדנטיים. אולם בתקופה זו כלל לא היה ידוע אם בכלל קיימים מספרים טרנסצנדנטיים.
בשנת [[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] את [[משתמש:דניאל ב./ליוביל|משפט ליוביל]] שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה ([[קבוע ליוביל]]). בשנת [[1874]] הוכיח [[גאורג קנטור]] כי [[משתמש:דניאל ב./קנטור|כמעט כל המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים]]. על אף זאת ההוכחה כי מספר מסוים הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה סבוכה.
בשנת [[1873]] הוכיח [[שארל הרמיט]] כי [[משתמש:דניאל ב./e|e מספר טרנסצנדנטי]]. היתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש. הרמיט הצליח [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של e.
בשנת [[1882]], בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח [[פרדיננד לינדמן]] להוכיח גרסה ראשונית למשפט הקרוי על שמו. הוא הוכיח כי כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] אלגברית שונה מאפס של e היא טרנסצנדנטית. תוצאה זו אפשרה ללינדמן להוכיח בקלות כי π טרנסצנדנטי. הטרנסצנדנטיות של π מראה כי הוא אינו איבר של [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]] ולכן לא ניתן לפתור את בעיית [[תרבוע העיגול]]. בכך קנה לינדמן את תהילתו כמי שפתר חידה בת אלפיים שנה.
בשנת [[1885]] הכליל [[קארל ויירשטראס]] את הוכחתו של לינדמן והוכיח את הגרסה המלאה של המשפט. מאז פרסום המשפט פישטו [[מתמטיקאי]]ם שונים את ההוכחה, כאשר הפישוט המשמעותי ביותר נעשה על ידי [[דויד הילברט]].
בשל תרומתו של הרמיט, המשפט נקרא גם '''משפט הרמיט-לינדמן''' או '''משפט הרמיט-לינדמן-ויירשטראס'''.
[[en:Lindemann–Weierstrass theorem]]
| |||