עקרון ד'אלמבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תרגום התקציר של הערך באנגלית. ערך יתום. |
הוכחת משוואת אוילר לגרנז' בתהליך הוספה |
||
שורה 1:
{{בעבודה}}
[[Image:Alembert.jpg|thumb|right|[[Jean d'Alembert]]]]
'''עיקרון ד'אלמבר''', הידוע גם כ'''עיקרון לגרנז'-ד'אלמבר''', הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיסיקאי הצרפתי [[ז'אן ל-רונד ד'אלמבר]]. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת
:<math>\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0,</math>
שורה 9 ⟵ 13:
| <math>\mathbf {F}_i</math> || הם הכוחות המופעלים על המערכת,
|-
| <math>\delta \mathbf r_i</math> || הם ההעתקים הוירטואלים המצייתים
|-
| <math> m_i \scriptstyle</math> || הם מסות החלקיקים במערכת,
שורה 21 ⟵ 25:
משפט זה הוא המקביל הדינמי ל[[משפט העבודה הוירטואלית]] והינו יותר כללי מ[[עיקרון המילטון]] כי אינו מוגבל למערכות [[הולונומיות]]. הגבלה הולונומית הינה הגבלה התלויה רק בקוארדינטות ובזמן.
== דריבציה ==
העתקה וירטואלית הינה שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן dt, העתקה וירטואלית נעשית מידית.
כידוע מ[[חוקי ניוטון]], סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:
<math>F_i-\dot {p_i}=0</math>
ומכאן נקבל מידית:
<math>\sum_i (F_i-\dot {p_i})\delta {r_i}=0</math>
== קבלת משוואת אוילר לגרנז' ==
נבדיל בין כוחות ממשיים <math>{F_i}^{(a)}</math> לכוחות אילוצים <math>f_i</math>:
<math>\sum_i ({F_i}^{(a)}-\dot {p_i})\delta {r_i}+ \sum_i f_i\delta {r_i}=0</math>
כאשר האיבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. לדוגמא חלקיק המוגבל לנוע על משטח- כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הוירטואלים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא חיכוך, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.
אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הוירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקוארדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשניה.
נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:
<math>r_i=r_i(q_1,q_2,...,q_n,t)</math>
באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי תלויות).<br />
ההעתקה הוירטואלית <math>\delta {r_i}</math> קשורה להעתקה הוירטואלית <math>\delta {q_i}</math> על ידי:
<math>\delta {r_i}=\sum_j \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}</math>
על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים <math>Q_j</math>
<math>\sum_i F_i \delta {r_i}=\sum_{i,j} F_i \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j} = \sum_j Q_j \delta {q_j}</math>
<math>Q_j=\sum_i F_i \frac{\partial r_i}{\partial q_j}</math>
שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקוארדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.
עוד איבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים:
<math>\sum_i \dot p_i \delta r_i = \sum_{i,j} m\ddot{r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}</math>
נוכל לבטא את המהירויות:
<math>v_i=\frac{dr_i}{dt}=\sum_j \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \dot {q_j} + \frac{\partial r_i}{\partial t}</math>
עוד נוסחא שימושית היא:
<math>\frac{d}{dt} \frac{\partial r_i}{\partial q_j}=\frac{\partial^2 r_i}{\partial q_j \partial q_k} \dot {q_k}+ \frac{\partial^2 r_i}{\partial q_j \partial t}</math>
| |||