עקרון ד'אלמבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ מחיקת קטע לא נחוץ |
ראה דף שיחה |
||
שורה 1:
'''עיקרון ד'אלמבר''', הידוע גם כ'''עיקרון לגרנז'-ד'אלמבר''', הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיסיקאי הצרפתי [[ז'אן ל
▲[[Image:Alembert.jpg|thumb|right|[[Jean d'Alembert]]]]
▲'''עיקרון ד'אלמבר''', הידוע גם כ'''עיקרון לגרנז'-ד'אלמבר''', הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיסיקאי הצרפתי [[ז'אן ל-רונד ד'אלמבר]]. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס. לפי כך, עיקרון ד'אלמבר הוא:
:<math>\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0,</math>
שורה 76 ⟵ 73:
נציב ביטוי זה באיבר התנע ונפתח:
<math>
\sum_{i,j} m\ddot{r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}=
\sum_{i,j} m\dot{v_i} \frac{\partial v_i}{\partial \dot {q_j}} \delta {q_j}=
\sum_{i,j} m\frac{d}{dt} \frac{\partial \frac{{v_i}^2}{2}}{\partial \dot {q_j}} \delta {q_j}=
\sum_{j} \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}} \delta {q_j}
</math>
כאשר T היא האנרגיה הקינטית מבוטאת בקוארדינטות המוכללות.
אם הכוח במערכת הינו משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:
<math>F_i=-\frac{\partial V}{\partial r_i}</math>
לכן בקוארדינטות מוכללות איבר הכוחות נראה כך:
<math>\sum_{i,j} -\frac{\partial V}{\partial r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}=
\sum_{j} -\frac{\partial V}{\partial q_j} \delta {q_j}
</math>
והכוח המוכלל ניתן על ידי:
<math>Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_j}</math>
נסכום את האיברים:
<math>\sum_{j} (-\frac{\partial V}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}}) \delta {q_j}=0</math>
כאשר <math>\delta {q_j}</math> הם העתקים וירטואלים שרירותיים. לכן מתקיים לכל איבר בסכום:
<math>-\frac{\partial V}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}}=0</math>
ברוב הבעיות האנרגיה הקינטית אינה תלויה ב<math>q_i</math> והאנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב<math>\dot q_i</math>.
לכן נוכל לבטא מחדש את המשוואה כ:
<math>\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot {q_j}}=0</math>
נגדיר את פונקציית הלגרנז'יאן כ
<math>L=T-V</math>
ובכך קיבלנו את [[לגראנז'יאן|משוואת אוילר לגרנז']]:
<math>\frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot {q_j}}=0</math>
| |||