|
ב-[[1996]] הוכיח [[יורי נסטרנקו]] כי הקבוצה <math>\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\}</math> היא בלתי תלויה אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.
==משפט לינדמן -ויירשטראס==
{{ערך מורחב|משפט לינדמן ויירשטראס}}
לעתים קרובות ניתן להשתמש במשפטב[[משפט לינדמן-ויירשטראס]] על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של [[פרדיננד לינדמן]] ו[[קארל ויירשטראס]]. לינדמן הוכיח ב-1882 כי <math>\,e^{\alpha}</math> הוא מספר טרנסצנדנטי לכל <math>\alpha</math> אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם <math>\,\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> הם [[מספר אלגברי|מספרים אלגברים]] [[תלות לינארית|בלתי תלויים לינארית]] מעל <math>\,\mathbb{Q}</math> אז המספרים <math>\,e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}</math> הם בלתי תלויים אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.
משפט לינדמן קובע שאם <math>\ e^{\alpha}</math> אלגברי אז <math>\ \alpha</math> [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]]. בפרט, על-פי [[זהות אוילר]], <math>\ e^{\pi i} = -1</math>, החזקה
<math>\ \pi i</math> טרנסצנדנטית, ולכן גם [[פאי]] טרנסצנדנטי.
== ראו גם ==
|
