משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני: תיקון ניסוח |
FreeSource (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 59:
כאשר הפונקציות <math>\ p(x),q(x)</math> הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y''+ay'+by</math>, קיימים פתרונות למשוואה מהצורה <math>\ e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\ \lambda</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>\ x^2+ax+b</math> (פולינום זה מכונה '''הפולינום האופייני של המשוואה'''). אם יש שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, <math>\ xe^{\lambda x}</math> הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם <math>\ \lambda\pm i\mu</math> הם השורשים, מקבלים את הפתרונות <math>\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)</math>.
== דרך פתרון נפוצה למשוואות ליניאריות מסדר ראשון ==
בהינתן <math>y'+p(x)y=r(x)</math> כאשר y הוא הפונקציה הנעלמת נרצה לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה <math>\mu (x)</math> כך שבאגף שמאל יהיה <math>(\mu (x) y)'</math>. על פי נגזרת של מכפלה ברצונינו שיהיה באגף שמאל
<math>(\mu (x) y)'=\mu(x) y' +\mu '(x) y</math> ועל זה להיות שווה ל: <math>\mu (x) y'+\mu (x)p(x)y</math> מכאן נובע שצריך להתקיים התנאי: <math>\frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=p(x)</math>
ניעזר בזהות <math>\frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=(ln \mu (x))'</math> ונגיע לכך שערך אפשרי <math>\mu (x)</math> הוא <math>e^{\int p(x) dx}</math> מכאן על ידי אינטגרציה פשוטה של שני האגפים נקבל את הפתרון.
'''דוגמה: '''
נפתור את המשוואה <math>y'+y=1</math> נכפול בגורם האינטגרציה <math>e^{\int 1 dx}=e^x</math> ונקבל
<math> (e^x y)'=e^x</math>
ומכאן
<math>e^x \cdot y=e^x+c</math>
ולכן
<math>y=\frac{e^x+c}{e^{x}}=1+ce^{-x}</math>
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|OrdinaryDifferentialEquation}}
| |||