הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב פתרונות"

נוספו 1,566 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
ב[[אלגברה לינארית]], '''מרחב הפתרונות''', '''מרחב האפסים''' או ה'''גרעין''' של [[מטריצה]] <math>A</math> הוא אוסף כל ה[[וקטור עמודה|ווקטורים]] שפותרים את המשוואה <math>AxA\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. כלומר זהו אוסף הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריתלינאריות|מערכת המשוואות הלינאריתהלינאריות ההומוגונית]] המיוצגת על ידי <math>A</math>. את מרחב הפתרונות מסמנים <math>\mbox{Null}(A)</math>. מרחב הפתרונות הוא [[מרחב וקטורי|תת-מרחב וקטורי]] של [[המרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^n</math>, כאשר n הוא מספר העמודות ב-<math>A</math> (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות). זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, ו[[כפל בסקלר]] של פתרון הוא פתרון.
 
אם <math>T</math> היא [[העתקה לינארית]] שמיוצגת על ידי מטריצה <math>A</math> לפי [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] סדור <math>B</math> של התחום של <math>T</math>, אז <math>\mbox{Null}(A)</math> הוא מרחב [[וקטור קואורדינטות|וקטורי הקואורדינטות]] של ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] <math>\mbox{Ker}(T)</math> לפי <math>B</math>, ושני המרחבים [[איזומורפיזם|איזומרפיים]].
 
שפתרונה <math>(0,t,-t)</math>, כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות. על כן מרחב הפתרונות הוא ה[[ישר]] במרחב התלת ממדי העובר דרך <math>(0,1,-1)</math> והראשית. <math>\mbox{nullity}(A)=1</math>, שכן ישר הוא חד-ממדי.
 
==מערכת משוואות לינארית אי-הומוגנית==
נתונה מערכת משוואות לינאריות <math>A\textbf{x} = \textbf{b}</math>. בהינתן שני פתרונות למערכת <math>\mathbf{v}, \mathbf{u}</math>, ההפרש ביניהם מקיים:
:<math>A(\mathbf{v-u}) = A\mathbf{v}-A\mathbf{u} = \textbf{b}-\textbf{b} = \textbf{0}</math>
 
כלומר <math> \mathbf{v-u} \in \mbox{Null}(A)</math>. באופן דומה אם <math> \mathbf{v}</math> פתרון של המערכת האי-הומוגנית ו-<math>\mathbf{w}</math> פתרון של המערכת ההומוגנית אז:
:<math>A(\mathbf{v+w}) = A\mathbf{v}+A\mathbf{w} = \textbf{b}+\textbf{0} = \textbf{b}</math>
 
צירוף שתי העובדות יחדיו מוביל למסקנה שבהינתן פתרון של המערכת <math>A\textbf{x} = \textbf{b}</math>, אז כל פתרון אחר מתקבל ממנו על ידי חיבור פתרון של <math>A\textbf{x} = \textbf{0}</math>. בניסוח אחר, אם <math>\mathbf{p}</math> הוא פתרון כלשהו של <math>A\textbf{x} = \textbf{b}</math>, אז קבוצת הפתרונות של <math>A\textbf{x} = \textbf{b}</math> היא <math> \mathbf{p} + \mbox{Null}(A) = \{\mathbf{p} + \mathbf{v} : \mathbf{v} \in \mbox{Null}(A)\}</math>. זהו [[מרחב אפיני]].
 
[[קטגוריה:מטריצות]]
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[en:Kernel (matrix)]]
 
[[de:Kern (Mathematik)]]
[[es:Núcleo (matemática)]]
[[eo:Kerno (matrico)]]
[[fr:Noyau (algèbre)]]
[[it:Spazio nullo]]
[[ja:零空間]]
[[uk:Ядро матриці]]
[[ur:عدیمہ فضا]]
[[zh:零空间]]