הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברת הקווטרניונים של המילטון"

אין תקציר עריכה
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: id:Kuaternion)
{{בעבודה}}
ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת הקווטרניונים של המילטון''', המסומנת <math>\mathbb{H}</math>, היא [[מבנה אלגברי]] שאבריו הם מספרים מהצורה <math>\ a+ib+jc+kd</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ו-<math>\ i, j, k</math> מקיימים: <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,</math>. זוהי [[אלגברת קווטרניונים]] ש[[מרכז (תורת החוגים)|מרכזה]] הוא [[שדה המספרים הממשיים]]. את המבנה גילה ב-[[1843]] המתמטיקאי ה[[אירלנד|אירי]] [[ויליאם רואן המילטון]], אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת ה[[וקטור (אלגברה)|ווקטור]].
 
הקווטרניונים הם הרחבה של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ה[[מספר מרוכב|מספרים המרוכבים]] ל[[מרחב ארבע-ממדי|ארבעה ממדים]]. [[קובץ:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|שמאל|ממוזער|250px|שלט המדווח על גילויו של המילטון על גשר ברום]]
מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. נסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצא בדמות הקוורטניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור וה[[מטריצה]] והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל ב[[גרפיקת תלת ממד]].
 
==היסטוריה==
הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידיו בשנת [[1843]]. קדמו לגילוי של המילטון [[זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר]] משנת 1748, ו[[נוסחת אוילר-רודריגז לתאור סיבובים]] משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התאור של הקווטריונים. כמו-כן ממצאים מראים שהמתמטיקאי הגדול [[קרל פרדריך גאוס]] גילה את הקווטרניונים בשנת 1819 אך לא פירסם את ממצאיו.
 
המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-מימדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:
<math>c=x+yi=re^{i\theta}</math> ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמא סיבוב של נקודה c=x+iy בזוית <math>\alpha</math> מתבצעת על ידי הכפלה:
<math>c'=ce^{i\alpha}=c(cos(\alpha)+isin(\alpha))</math>.
בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-מימדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של קבוצות של שלושה מספרים עלו בתוהו. ב-16 לאוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדאבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברוגהם (Brougham Bridge) מצא המילטון את הפתרון המבוקש באמצעות שימוש בקבוצה של ארבע מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית היתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטריונים:
<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>. המילטון כינה את שדה המספרים שאותו הוא גילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו.
 
תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, [[פיטר טייט]] ו[[בנימין פירס]] הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטריונים לתאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמא הם הראו שאת [[משוואות מקסוול]] ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטריונים. בסוף שנות ה-80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטריונים לתאור גאומטריה תלת-מימדית, לבין התומכים בשימוש ב[[אנליזה וקטורית]]. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו [[ג'וסיה וילארד גיבס]] ו[[אוליבר הביסייד]] הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של מימדים.
 
לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטריונים לתאור סיבובים במגוון של תחומים הכוללים [[גרפיקה ממוחשבת]], [[אווירודינמיקה]], [[תורת הבקרה]], [[עיבוד אותות]], [[פיזיקה]] ו[[ביואינפורמטיקה]]. משחק המחשב [[טומב ריידר]] משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קוואטריונים, והיום נעשה בקוואטריונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים.
 
==תכונות בסיסיות==