|
השורש הריבועי של חוחיחשלי שווה www.xnxx.com
'''מספר מדומה''' (או "'''מספר דמיוני'''" הפחות מקובל) הוא [[מספר מרוכב]] ש[[ריבוע (חזקה)|ריבועו]] הוא [[מספר ממשי]] שלילי. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה <math>\ ib</math>, כאשר <math>\ b</math> הוא מספר ממשי, ו-<math>\ i</math> הוא "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני ה[[שורש (מתמטיקה)|שורשים]], <math>\ i</math> ו-<math>\ -i</math> של מינוס אחת: <math>\ i^2=-1</math>).
כיוון שה[[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] של כל מספר ממשי הוא [[מספר חיובי|חיובי]] או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ב[[שדה המספרים הממשיים]]. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, <math>\ i</math>, ושילובו ב[[שדה המספרים הממשיים]], מתקבל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[הרחבת שדות|גדול יותר]], הנקרא "[[שדה המספרים המרוכבים]]"; המספרים המרוכבים הם כולם מן הצורה <math>\ a+ib</math> כאשר <math>\ a, b</math> מספרים ממשיים. שדה המספרים המרוכבים [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[הוצאת שורש]] בכלל, ול[[הוצאת שורש ריבועי]] בפרט.
==היסטוריה==
כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי ב[[שדה המספרים הממשיים]], מתמטיקאים התייחסו אל [[משוואה]] כגון <math>\!\, x^2+1=0</math> כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר [[ג'ירולמו קרדאנו]] גילה, בתחילת [[המאה ה-16]], שהדרך לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]], גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.
בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת [[1572]], על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת [[1637]], התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". את האות i, שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר [[לאונרד אוילר|אוילר]] ב-[[1777]]; פיזיקאים מעדיפים לסמן מספר זה באות j, כדי לא להתנגש עם האות המייצגת [[זרם חשמלי|זרם]].
== מאפיינים אלגבריים ==
קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה <math>\ ib</math> כאשר <math>\ b</math> הוא [[מספר ממשי]], [[סגירות (אלגברה)|סגורה]] תחת [[חיבור]]: <math>\ bi+b'i=(b+b')i</math> (כ[[חבורה אבלית|חבורה חיבורית]], הקבוצה [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפית]] לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת [[כפל]], משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.
פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] מספר מדומה היא תמיד ממשית: <math>\ i^{i a} = (e^{\frac{\pi i}{2}})^{ia} = e^{- \frac{ \pi a}{2}}</math>.
==לקריאה נוספת==
<div dir=ltr>
* Paul Nahin, An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of -1 (Princeton University Press, 1998).
</div>
{{מערכות מספרים}}
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:מספרים]]
{{Link FA|lmo}}
[[en:Imaginary number]]
[[ar:عدد تخيلي]]
[[bn:অবাস্তব সংখ্যা]]
[[bs:Imaginarni broj]]
[[ca:Nombre imaginari]]
[[da:Imaginære tal]]
[[de:Imaginäre Zahl]]
[[el:Φανταστικός αριθμός]]
[[es:Número imaginario]]
[[eu:Zenbaki irudikari]]
[[fa:عدد موهومی]]
[[fi:Imaginaariluku]]
[[fr:Nombre imaginaire pur]]
[[gl:Número imaxinario]]
[[hr:Imaginarni broj]]
[[id:Bilangan imajiner]]
[[is:Þvertala]]
[[ja:虚数]]
[[ko:허수]]
[[la:Quantitas imaginaria]]
[[lmo:Nümar imaginari]]
[[mk:Имагинарен број]]
[[ml:അവാസ്തവികസംഖ്യ]]
[[nl:Imaginair getal]]
[[nn:Imaginært tal]]
[[pl:Liczby urojone]]
[[pt:Número imaginário]]
[[ru:Мнимое число]]
[[sv:Imaginära tal]]
[[ta:கற்பனை எண்]]
[[th:จำนวนจินตภาพ]]
[[uk:Уявне число]]
[[ur:Imaginary number]]
[[vi:Số ảo]]
[[vls:Imaginaire getalln]]
[[xal:Ухалдг тойг]]
[[yo:Nọ́mbà tíkòsí]]
[[zh:虚数]]
[[zh-yue:純虛數]]
| 