אלגברת הקווטרניונים של המילטון – הבדלי גרסאות

מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. נסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצא בדמות הקוורטניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור וה[[מטריצה]] והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל ב[[גרפיקת תלת ממד]].

הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידיו בשנת [[1843]]. קדמו לגילוי של המילטון [[זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר]] משנת 1748, ו[[נוסחת אוילר-רודריגז לתאור סיבובים]] משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התאור של הקווטריונים. כמו- כן ממצאים מראים שהמתמטיקאי הגדול [[קרל פרידריך גאוס]] גילה את הקווטרניונים בשנת 1819 אך לא פירסםפרסם את ממצאיו.

המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-מימדיממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:

<math>c=x+yi=re^{i\theta}</math> ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמאלדוגמה סיבוב של נקודה c=x+iy בזוית בזווית <math>\alpha</math> מתבצעת על ידי הכפלה:

בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-מימדיתממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של קבוצות של שלושה מספרים עלו בתוהו. ב-16 לאוקטוברבאוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדאבליןבדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברוגהם (Brougham Bridge) מצא המילטון את הפתרון המבוקש באמצעות שימוש בקבוצה של ארבע מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית היתההייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטריונים:

תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, [[פיטר טייט]] ו[[בנימין פירס]] הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטריונים לתאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמאלדוגמה הם הראו שאת [[משוואות מקסוול]] ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטריונים. בסוף שנות ה-80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטריונים לתאור גאומטריה תלת-מימדיתממדית, לבין התומכים בשימוש ב[[אנליזה וקטורית]]. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו [[ג'וסיה וילארד גיבס]] ו[[אוליבר הביסייד]] הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של מימדיםממדים.

<math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} \;\;1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} \;\;i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} \;\;0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} +d\begin{pmatrix} \;\;0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math>. במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור ו[[כפל מטריצות]].

אוסף הקווטרניונים מהצורה <math>\ a+bi+cj+dk</math> עבור <math>\ a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר ליפשיץ''', ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם <math>\ a,b,c,d \in \frac{1}{2} + \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר הורוויץ'''. מסדר הורוויץ מהווה [[מסדר מקסימלי]] יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים <math>\ \mathbb{Q}[i,j]</math>, ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה ל[[משפט ארבעת הריבועים של לגרנז']].