הרחבת גלואה – הבדלי גרסאות

2. נסמן ב- <math>\ \alpha = \sqrt[4]{2^{1/4}</math> את השורש הרביעיה'''רביעי''' של 2. השדה <math>\ L=\mathbb{Q}[\alpha]</math> אינו הרחבת גלואה של <math>\ \mathbb{Q}</math>, משום שההרחבה אינה נורמלית: <math>\ \alpha</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ x^4-2</math>, שהוא אי-פריק (לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]) אבל השורש <math>\ i\alpha</math> אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים <math>\ L_0 = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math>. סגור גלואה של ההרחבה <math>\ L/\mathbb{Q}</math> מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-<math>\ \mathbb{Q}</math>, ושווה משום כך ל- <math>\ K = \mathbb{Q}[\alpha,i\alpha,-\alpha,-i\alpha] = \mathbb{Q}[\alpha,i]</math>. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מאותו סדר.