מערכת פאנו – הבדלי גרסאות

המספרים הטבעיים מהווים כמובן מודל של אקסיומות פאנו. כאשר מחליפים את אקסיומת האינדוקציה המלאה בגרסתה שמסדר ראשון, נכנס לפעולה [[משפט הקומפקטיות]] (החל על מערכות שהאקסיומות שלהן מסדר ראשון), שלפיו יש למערכת גם מודלים לא סטנדרטיים. לפי [[משפט לונהייםלוונהיים-סקולם]] יש למערכת לא רק מודל בן-מניה, אלא גם מודלים מכל [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] אינסופית שהיא. כאשר מפרשים את תוצאת הקטגוריוּת של דדקינד במערכת מסדר ראשון, ההוכחה מראה שבתוך כל מודל של [[תורת הקבוצות]], יש מודל יחיד לאריתמטיקת פאנו שהוא "הקטן ביותר" - הוא משוכן ברישא של כל מודל אחר של האריתמטיקה. במודל לא סטנדרטי של תורת הקבוצות מתקבל מודל לא סטנדרטי של האריתמטיקה, ומאלה אי-אפשר להימנע באמצעות הוספה של אקסיומות מסדר ראשון.